Encontre todos os inteiros positivos m e n tais que:
(a) n+1 \mid n^{3}-1

Passo 1

O enunciado pede todos os inteiros positivos n tais que
n+1 \mid n^3 - 1.
O conteúdo aqui é de divisibilidade e restos de polinômio. Vamos usar congruências para testar quando n+1 divide n^3-1.

Passo 2

Para verificar se n+1 divide n^3-1, observamos a congruência
n \equiv -1 \pmod{n+1}.
Substituindo na expressão n^3-1, obtemos
n^3 - 1 \equiv (-1)^3 - 1 = -1 - 1 = -2 \pmod{n+1}.

Passo 3

Logo, n+1 divide n^3-1 se, e somente se, n+1 divide -2. Como n+1>0, isso equivale a
n+1 \in \{1,2\}.
Daí vemos que n+1=1 ou n+1=2.

Passo 4

Resolvendo cada caso:
  • Se n+1=1, então n=0, mas não contamos n=0 pois só queremos positivos.
  • Se n+1=2, então n=1, que é válido.

Resposta

O único inteiro positivo satisfazendo n+1\mid n^3-1 é n=1.

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