Encontre todos os inteiros positivos
e
tais que:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os pares de inteiros positivos
tais que
O conteúdo aqui é equação diofantina do tipo “harmônica” em duas variáveis. Vamos somar as frações e transformar numa forma fatorável.
Passo 2
Somando as frações obtemos
e multiplicando em cruz:
Reorganizando em forma de equação quadrática em
:
Passo 3
Para fatorar, adicionamos
em ambos os lados:
o que se escreve como
Passo 4
Como
, temos
Os divisores positivos de
são
Denotando
e
, cada par
com
gera uma solução:
Passo 5
Para cada divisor
de
, definimos
e calculamos
Isso gera os seguintes pares
:
Resposta
As soluções em inteiros positivos são