Encontre todos os inteiros positivos m e n tais que:
(b) \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{143}

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os pares de inteiros positivos (m,n) tais que
\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{143}.
O conteúdo aqui é equação diofantina do tipo “harmônica” em duas variáveis. Vamos somar as frações e transformar numa forma fatorável.

Passo 2

Somando as frações obtemos
\frac{m+n}{mn} = \frac{1}{143}
e multiplicando em cruz:
143\,(m+n) = mn.
Reorganizando em forma de equação quadrática em m,n:
mn - 143\,m - 143\,n = 0.

Passo 3

Para fatorar, adicionamos 143^2 em ambos os lados:
mn - 143\,m - 143\,n + 143^2 = 143^2
o que se escreve como
(m - 143)(n - 143) = 143^2.

Passo 4

Como 143 = 11 \cdot 13, temos
143^2 = 11^2 \cdot 13^2 = 20449.
Os divisores positivos de 20449 são
1,\;11,\;13,\;121,\;143,\;169,\;1573,\;1859,\;20449.
Denotando d = m - 143 e e = n - 143, cada par (d,e) com d\,e = 20449 gera uma solução:
m = d + 143,\quad n = e + 143.

Passo 5

Para cada divisor d de 20449, definimos e = 20449/d e calculamos
m = d + 143,\quad n = e + 143.
Isso gera os seguintes pares (m,n):
(144,\,20592),\;(154,\,2002),\;(156,\,1716),\;(264,\,312),\;(286,\,286),
(312,\,264),\;(1716,\,156),\;(2002,\,154),\;(20592,\,144).

Resposta

As soluções em inteiros positivos são
(m,n)=(144,20592),\;(154,2002),\;(156,1716),\;(264,312),\;(286,286),
(312,264),\;(1716,156),\;(2002,154),\;(20592,144).

Exercícios relacionados