Sejam a e b inteiros tais que 56 a=65 b. Prove que a+b é composto.

Passo 1

O enunciado diz que a e b são inteiros tais que
56\,a = 65\,b,
e pede para mostrar que a+b é número composto.
Conteúdo necessário: propriedades de divisibilidade e o fato de que \gcd(56,65)=1.

Passo 2

Como \gcd(56,65)=1, pela propriedade “se \gcd(m,n)=1 e m\mid n\,x então m\mid x”, de
56\,a = 65\,b
temos primeiro que 56\mid 65\,b. Como \gcd(56,65)=1, isso implica
56 \mid b.
De modo análogo, 65\mid 56\,a e \gcd(65,56)=1 dão
65 \mid a.

Passo 3

Das divisibilidades \,65\mid a e \,56\mid b, existem k\in\mathbb{Z} tais que
a = 65\,k, \qquad b = 56\,k.

Passo 4

Somando a e b em função de k,
a + b = 65\,k + 56\,k = (65 + 56)\,k = 121\,k.
Note que 121 = 11^2. Logo
a + b = 11^2 \,k.
Se k\neq 0, então a+b tem pelo menos os divisores 11 e 11k, ambos maiores que 1. Portanto a+b não é primo, mas sim composto.

Resposta

a+b é composto.

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