Encontre todas as soluções inteiras
e
para as seguintes equações Diofantinas:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede todas as soluções inteiras de
que é uma equação diofantina linear. Para resolver, vamos usar o Algoritmo de Euclides para encontrar
e, em seguida, o Algoritmo de Euclides Estendido para obter uma solução particular. Depois, construiremos a solução geral.
Passo 2
Calculamos
pelo Algoritmo de Euclides:
Logo,
.
Passo 3
Como
e
, a equação tem solução inteira. Dividindo tudo por
, obtemos a equação equivalente mais simples:
Passo 4
Agora aplicamos o Algoritmo de Euclides Estendido em
e
para achar coeficientes
e
tais que
Fazendo a retro-substituição (agrupando os cálculos de forma concisa), chega-se a
Portanto, uma solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação
é
com
. Voltando à equação original (antes da divisão por 3), os coeficientes de variação já estão ajustados porque dividimos consistentemente por
.
Resposta
As soluções inteiras de
são dadas por