Encontre todas as soluções inteiras x e y para as seguintes equações Diofantinas:
(c) 2757 x+192 y=3

Passo 1

O enunciado pede todas as soluções inteiras de
2757\,x + 192\,y = 3,
que é uma equação diofantina linear. Para resolver, vamos usar o Algoritmo de Euclides para encontrar \gcd(2757,192) e, em seguida, o Algoritmo de Euclides Estendido para obter uma solução particular. Depois, construiremos a solução geral.

Passo 2

Calculamos \gcd(2757,192) pelo Algoritmo de Euclides:
\begin{aligned} 2757 &= 192 \times 14 + 69,\\\\ 192 &= 69 \times 2 + 54,\\\\ 69 &= 54 \times 1 + 15,\\\\ 54 &= 15 \times 3 + 9,\\\\ 15 &= 9 \times 1 + 6,\\\\ 9 &= 6 \times 1 + 3,\\\\ 6 &= 3 \times 2 + 0. \end{aligned}
Logo, \gcd(2757,192)=3.

Passo 3

Como \gcd(2757,192)=3 e 3\mid 3, a equação tem solução inteira. Dividindo tudo por 3, obtemos a equação equivalente mais simples:
919\,x + 64\,y = 1.

Passo 4

Agora aplicamos o Algoritmo de Euclides Estendido em 919 e 64 para achar coeficientes X e Y tais que
919\,X + 64\,Y = 1.
Fazendo a retro-substituição (agrupando os cálculos de forma concisa), chega-se a
-25 \times 919 + 359 \times 64 = 1.
Portanto, uma solução particular é
x_0 = -25,\quad y_0 = 359.

Passo 5

A solução geral da equação 919\,x+64\,y=1 é
x = x_0 + 64\,t,\qquad y = y_0 - 919\,t,
com t\in\mathbb{Z}. Voltando à equação original (antes da divisão por 3), os coeficientes de variação já estão ajustados porque dividimos consistentemente por \gcd.

Resposta

As soluções inteiras de
2757\,x + 192\,y = 3
são dadas por
\boxed{x = -25 + 64\,t,\quad y = 359 - 919\,t,\quad t\in\mathbb{Z}.}

Exercícios relacionados