Encontre todos os inteiros x que satisfazem
4 x \equiv 5 \bmod 9

Passo 1

O enunciado pede: encontre todos os inteiros x que satisfazem a congruência
4x \equiv 5 \pmod{9}.
Informações fornecidas:
  • Módulo: 9.
  • Coeficiente de x: 4.
  • Lado direito: 5.
    A pergunta é: listar todos os inteiros x que tornam verdadeira essa congruência.

Passo 2

O que significa 4x \equiv 5 \pmod{9}? Significa que 9 divide a diferença 4x-5. Em outras palavras, existe um inteiro k tal que
4x-5=9k.
Essa é uma equação diofantina linear em x e k. Resolver a congruência é equivalente a encontrar todas as soluções inteiras dessa equação.

Passo 3

Antes de tentar resolver, é útil verificar a condição de existência de solução para uma congruência linear ax\equiv b\pmod m: existe solução se, e somente se, \gcd(a,m) divide b.
Calcule \gcd(4,9). Como 9 é primo em relação a 4, temos
\gcd(4,9)=1.
Como 1 divide 5, a congruência tem solução e, porque o gcd é 1, haverá exatamente uma classe de congruência (ou seja, uma solução única módulo 9).

Passo 4

Para obter a solução basta multiplicar ambos os lados pela inversa multiplicativa de 4 módulo 9. A inversa de 4 módulo 9 é um inteiro u tal que
4u \equiv 1 \pmod{9}.
Podemos achar u por tentativa (ou pelo algoritmo de Euclides estendido). Testando pequenos valores:
4\cdot 1 \equiv 4,\quad 4\cdot 2 \equiv 8,\quad 4\cdot 3 \equiv 3,\quad 4\cdot 4 \equiv 7,
4\cdot 5 \equiv 2,\quad 4\cdot 6 \equiv 6,\quad 4\cdot 7 \equiv 1 \pmod{9}.
Então u=7 é a inversa de 4 módulo 9.
Multiplicando a congruência dada por 7 obtemos
x \equiv 7\cdot 5 \pmod{9}.
Calcule 7\cdot 5=35 e reduza módulo 9:
35 \equiv 35-27=8 \pmod{9}.
Portanto
x \equiv 8 \pmod{9}.

Passo 5

Escrevendo a solução em forma explícita de inteiros: todos os inteiros congruentes a 8 módulo 9 resolvem a congruência. Assim a família completa de soluções é
x = 8 + 9t,\qquad t\in\mathbb{Z}.
Verificação rápida: para x=8 temos 4\cdot 8=32 e 32\equiv 5\pmod{9} (porque 32-27=5), logo funciona. Valores como x=-1 também servem, pois -1=8+9(-1) e 4(-1)=-4\equiv5\pmod{9}.
Dica prática para a prova: quando \gcd(a,m)=1, ache a inversa de a módulo m (por tentativa se m for pequeno, ou por Euclides estendido) e multiplique ambos os lados; isso dá a única classe solução módulo m.

Resposta

x=8+9t,\\ t\in\mathbb{Z}

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