Mostre que:
dois números inteiros da forma
e
são sempre primos entre si.
dois números inteiros da forma
Passo 1
O enunciado dá dois números inteiros da forma
e
. Para que
seja inteiro, devo entender que
é um divisor de
(ou seja,
e
). O que o problema pede é mostrar que esses dois inteiros são primos entre si, isto é, que o máximo divisor comum entre eles é
.
Resumo das informações dadas:
-
é um inteiro. -
é um divisor de , logo é inteiro. - Queremos provar que
.
Passo 2
Recordando o que significa “primos entre si” e uma propriedade útil de divisores:
- Dois inteiros
e são primos entre si quando . - Se um inteiro
divide e divide , então divide qualquer combinação linear inteira de e ; em particular, divide para quaisquer inteiros . Em linguagem prática: qualquer divisor comum de e também divide , etc.
Essa propriedade de combinações lineares (ou da diferença) é a ferramenta que vamos usar.
Passo 3
Seja
Então, por definição,
divide
e também divide
.
Como
divide
, multiplicando por
(que é um inteiro) vemos que
também divide
Portanto
divide simultaneamente
e
.
Passo 4
Se
divide
e
divide
, então
divide a diferença entre esses dois números:
Logo
divide
. O único divisor positivo de
é
próprio. Assim
.
Passo 5
Concluímos que
, ou seja, os dois inteiros são primos entre si.
Exemplo numérico pequeno para fixar a ideia: tome
e
(de fato
). Então
e
. Qualquer divisor comum teria de dividir
e
; portanto dividiria
, logo o máximo divisor comum é
.