Encontre todos os inteiros
que satisfazem
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os inteiros
que satisfazem a congruência
Informações dadas:
- Coeficiente de
: . - Módulo:
. - Termo à direita:
.
Passo 2
Condição de existência e unicidade (explicação didática):
- Para a congruência
haver solução é necessário e suficiente que divida . - Aqui
. Como divide , a congruência tem solução. - Quando
existe o inverso multiplicativo de módulo : um número tal que . Multiplicando ambos os lados da congruência por obtemos a solução única classe módulo .
Passo 3
Achar o inverso de
módulo
(duas maneiras explicadas):
Método rápido por tentativa:
- Testar pequenos multiplicadores:
, , , , , , , . - Encontramos
. Logo o inverso de é .
Método do algoritmo de Euclides estendido (mais sistemático):
Agora voltamos substituindo para escrever
como combinação de
e
:
Isto mostra
, então
é inverso de
módulo
. Como
, obtemos o mesmo inverso
.
Passo 4
Multiplicar a congruência original pelo inverso de
(que é
):
Calcule
. Reduzindo módulo
:
Portanto
.
Passo 5
Forma geral das soluções e verificação:
- Todas as soluções inteiras são os números congruentes a
módulo , ou seja,
Verificação rápida: para
,
, confirma.