Encontre todos os inteiros x que satisfazem
7 x \equiv 3 \bmod 11

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os inteiros x que satisfazem a congruência
7x \equiv 3 \pmod{11}.
Informações dadas:
  • Coeficiente de x: 7.
  • Módulo: 11.
  • Termo à direita: 3.

Passo 2

Condição de existência e unicidade (explicação didática):
  • Para a congruência \,a x \equiv b \pmod{m}\, haver solução é necessário e suficiente que \gcd(a,m) divida b.
  • Aqui \gcd(7,11)=1. Como 1 divide 3, a congruência tem solução.
  • Quando \gcd(a,m)=1 existe o inverso multiplicativo de a módulo m: um número a^{-1} tal que \,a a^{-1}\equiv1\pmod{m}. Multiplicando ambos os lados da congruência por a^{-1} obtemos a solução única classe módulo m.

Passo 3

Achar o inverso de 7 módulo 11 (duas maneiras explicadas):
Método rápido por tentativa:
  • Testar pequenos multiplicadores: 7\cdot 1=7, 7\cdot2=14\equiv3, 7\cdot3=21\equiv10, 7\cdot4=28\equiv6, 7\cdot5=35\equiv2, 7\cdot6=42\equiv9, 7\cdot7=49\equiv5, 7\cdot8=56\equiv1\pmod{11}.
  • Encontramos 7\cdot8\equiv1\pmod{11}. Logo o inverso de 7 é 8.
Método do algoritmo de Euclides estendido (mais sistemático):
\begin{aligned} 11 &= 1\cdot7 + 4,\\\\ 7 &= 1\cdot4 + 3,\\\\ 4 &= 1\cdot3 + 1. \end{aligned}
Agora voltamos substituindo para escrever 1 como combinação de 7 e 11:
\begin{aligned} 1 &= 4-1\cdot3\\\ &= 4-1\cdot(7-1\cdot4)=2\cdot4-1\cdot7\\\ &=2\cdot(11-1\cdot7)-1\cdot7=2\cdot11-3\cdot7. \end{aligned}
Isto mostra -3\cdot7+2\cdot11=1, então -3 é inverso de 7 módulo 11. Como -3\equiv8\pmod{11}, obtemos o mesmo inverso 8.

Passo 4

Multiplicar a congruência original pelo inverso de 7 (que é 8):
x \equiv 8\cdot 3 \pmod{11}.
Calcule 8\cdot3=24. Reduzindo módulo 11:
24 \equiv 24-2\cdot11=24-22=2 \pmod{11}.
Portanto x\equiv2\pmod{11}.

Passo 5

Forma geral das soluções e verificação:
  • Todas as soluções inteiras são os números congruentes a 2 módulo 11, ou seja,
x = 2 + 11k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Verificação rápida: para x=2, 7\cdot2=14\equiv3\pmod{11}, confirma.

Resposta

x\equiv2\pmod{11}
x=2+11k,\\ k\in\mathbb{Z}

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