As seguintes equações diferenciais de primeira ordem são apresentadas na forma normal e na forma diferencial. Determine se as equações na forma normal são lineares e/ou homogêneas, e se as equaçōes sob forma diferencial são separáveis e/ou exatas.
y^prime=x^2y^2 ; x^2y^2 d x-d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem apresentada de duas maneiras: na forma normal e na forma diferencial. O conteúdo que vamos usar aqui inclui conceitos de equações lineares, homogêneas, separáveis e exatas. Precisamos verificar se, na forma normal, a equação é linear e/ou homogênea, e se, na forma diferencial, ela é separável e/ou exata.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a forma normal da equação:
y^prime = x^2y^2
Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma:
y^prime + P(x)y = Q(x)
onde $ P(x) $ e $ Q(x) $ são funções de $ x $ apenas.
No nosso caso, temos:
P(x)
Podemos reescrever isso como:
Q(x)
Perceba que o termo $ \frac{x{2}}{y{2}} $ depende de $ y $ de forma não linear (tem $ y $ no denominador e elevado a uma potência). Portanto, a equação não é linear.

Passo 3

Continuando na forma normal, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos podem ser expressos como funções homogêneas do mesmo grau.
Observando a equação:
y^prime = x^2y^2
Podemos identificar que o lado direito é uma função homogênea de grau $ 2 - 2 = 0 $, já que $ x^{2} $ tem grau 2 e $ y^{2} $ também tem grau 2. Portanto, a equação é homogênea.

Passo 4

Agora, vamos analisar a forma diferencial da equação:
x^2y^2 dx - dy = 0
Primeiro, vamos verificar se ela é exata. Uma equação diferencial na forma $ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $ é exata se:
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Aqui, temos:
  • $ M(x,y) = \frac{x{2}}{y{2}} $
  • $ N(x,y) = -1 $
Calculando as derivadas parciais:
  • $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x{2}}{y{2}}\right) = -\frac{2x{2}}{y{3}} $
  • $ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-1) = 0 $
Como $ -\frac{2x{2}}{y{3}} \neq 0 $, a equação não é exata.

Passo 5

Ainda na forma diferencial, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação é separável se pode ser escrita como:
g(y)dy = f(x)dx
Nossa equação é:
x^2y^2 dx - dy = 0
Podemos rearranjar para:
x^2y^2 dx = dy
Ou:
dy = x^2y^2 dx
Agora, dividindo ambos os lados por $ \frac{x{2}}{y{2}} $, temos:
x^2y^2
Vemos que conseguimos separar as variáveis $ x $ e $ y $ de lados opostos da equação. Portanto, a equação é separável.

Resposta

  • Forma normal:
    • Não é linear.
    • É homogênea.
  • Forma diferencial:
    • É separável.
    • Não é exata.

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