As seguintes equações diferenciais de primeira ordem são apresentadas na forma normal e na forma diferencial. Determine se as equações na forma normal são lineares e/ou homogêneas, e se as equaçōes sob forma diferencial são separáveis e/ou exatas.
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem apresentada de duas maneiras: na forma normal e na forma diferencial. O conteúdo que vamos usar aqui inclui conceitos de equações lineares, homogêneas, separáveis e exatas. Precisamos verificar se, na forma normal, a equação é linear e/ou homogênea, e se, na forma diferencial, ela é separável e/ou exata.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a forma normal da equação:
Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma:
onde $ P(x) $ e $ Q(x) $ são funções de $ x $ apenas.
No nosso caso, temos:
Podemos reescrever isso como:
Perceba que o termo $ \frac{x{2}}{y{2}} $ depende de $ y $ de forma não linear (tem $ y $ no denominador e elevado a uma potência). Portanto, a equação não é linear.
Passo 3
Continuando na forma normal, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos podem ser expressos como funções homogêneas do mesmo grau.
Observando a equação:
Podemos identificar que o lado direito é uma função homogênea de grau $ 2 - 2 = 0 $, já que $ x^{2} $ tem grau 2 e $ y^{2} $ também tem grau 2. Portanto, a equação é homogênea.
Passo 4
Agora, vamos analisar a forma diferencial da equação:
Primeiro, vamos verificar se ela é exata. Uma equação diferencial na forma $ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $ é exata se:
Aqui, temos:
- $ M(x,y) = \frac{x{2}}{y{2}} $
- $ N(x,y) = -1 $
Calculando as derivadas parciais:
- $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x{2}}{y{2}}\right) = -\frac{2x{2}}{y{3}} $
- $ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-1) = 0 $
Como $ -\frac{2x{2}}{y{3}} \neq 0 $, a equação não é exata.
Passo 5
Ainda na forma diferencial, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação é separável se pode ser escrita como:
Nossa equação é:
Podemos rearranjar para:
Ou:
Agora, dividindo ambos os lados por $ \frac{x{2}}{y{2}} $, temos:
Vemos que conseguimos separar as variáveis $ x $ e $ y $ de lados opostos da equação. Portanto, a equação é separável.
Resposta
- Forma normal:
- Não é linear.
- É homogênea.
- Forma diferencial:
- É separável.
- Não é exata.