Um vendedor de produtos alimentícios estabelece um modelo que relaciona o lucro
obtido com as quantidades
e
gastas respectivamente com propaganda de televisão e revistas regido pela fórmula
, onde
e
se expressam em centenas de milhares de reais. Quanto deveria ser gasto com cada tipo de propaganda de modo a maximizar o lucro?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um vendedor que quer maximizar o lucro
que ele obtém vendendo produtos alimentícios. Esse lucro depende de quanto ele gasta com propaganda na televisão (
) e em revistas (
). A fórmula que relaciona tudo isso é:
Aqui,
,
e
estão medidos em centenas de milhares de reais. Nosso objetivo é descobrir quanto o vendedor deve gastar em cada tipo de propaganda (televisão e revistas) para que o lucro
seja o maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente de funções de várias variáveis e otimização.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para maximizar o lucro
, devemos encontrar os pontos onde a derivada de
em relação a
e
é zero. Isso nos dá os pontos críticos que podem ser máximos, mínimos ou pontos de sela.
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 6
Primeiro, observamos que
e
não podem ser zero, pois isso significaria que não houve gasto com propaganda, resultando em lucro zero, o que não é o caso de maximização. Portanto, podemos dividir as equações por
e
respectivamente:
Passo 7
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema usando métodos de substituição ou eliminação. Vou usar a eliminação.
Vamos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar:
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira:
Passo 8
Com
, vamos substituir na segunda equação original:
Passo 9
Encontramos que, para maximizar o lucro:
- Gasto com televisão
(centenas de milhares de reais) reais. - Gasto com revistas
(centenas de milhares de reais) reais.
Resposta
Para maximizar o lucro, o vendedor deve gastar R$ 100.000,00 em propaganda de televisão e R$ 133.333,33 em propaganda de revistas.