Um vendedor de produtos alimentícios estabelece um modelo que relaciona o lucro L obtido com as quantidades T e R gastas respectivamente com propaganda de televisão e revistas regido pela fórmula L=T R(12-4 T-3 R), onde L, T e R se expressam em centenas de milhares de reais. Quanto deveria ser gasto com cada tipo de propaganda de modo a maximizar o lucro?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um vendedor que quer maximizar o lucro L que ele obtém vendendo produtos alimentícios. Esse lucro depende de quanto ele gasta com propaganda na televisão ( T) e em revistas ( R). A fórmula que relaciona tudo isso é:
L = T cdot R cdot (12 - 4T - 3R)
Aqui, L, T e R estão medidos em centenas de milhares de reais. Nosso objetivo é descobrir quanto o vendedor deve gastar em cada tipo de propaganda (televisão e revistas) para que o lucro L seja o maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente de funções de várias variáveis e otimização.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para maximizar o lucro L, devemos encontrar os pontos onde a derivada de L em relação a T e R é zero. Isso nos dá os pontos críticos que podem ser máximos, mínimos ou pontos de sela.
Vamos calcular as derivadas parciais de L em relação a T e R.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada parcial de L em relação a T:
partial Lpartial T = partialpartial T [T cdot R cdot (12 - 4T - 3R)]
Usando a regra do produto:
partial Lpartial T = R cdot (12 - 4T - 3R) + T cdot R cdot (-4)
Simplificando:
partial Lpartial T = R(12 - 4T - 3R - 4T) = R(12 - 8T - 3R)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de L em relação a R:
partial Lpartial R = partialpartial R [T cdot R cdot (12 - 4T - 3R)]
Usando a regra do produto:
partial Lpartial R = T cdot (12 - 4T - 3R) + T cdot R cdot (-3)
Simplificando:
partial Lpartial R = T(12 - 4T - 3R - 3R) = T(12 - 4T - 6R)

Passo 5

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
  1. R(12 - 8T - 3R) = 0
  2. T(12 - 4T - 6R) = 0
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 6

Primeiro, observamos que R e T não podem ser zero, pois isso significaria que não houve gasto com propaganda, resultando em lucro zero, o que não é o caso de maximização. Portanto, podemos dividir as equações por R e T respectivamente:
  1. 12 - 8T - 3R = 0
  2. 12 - 4T - 6R = 0

Passo 7

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
12 - 8T - 3R = 0 12 - 4T - 6R = 0
Podemos resolver esse sistema usando métodos de substituição ou eliminação. Vou usar a eliminação.
Vamos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar:
  1. 24 - 16T - 6R = 0
  2. 12 - 4T - 6R = 0
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira:
(24 - 16T - 6R) - (12 - 4T - 6R) = 0 24 - 16T - 6R - 12 + 4T + 6R = 0 12 - 12T = 0 12T = 12 T = 1

Passo 8

Com T = 1, vamos substituir na segunda equação original:
12 - 4(1) - 6R = 0 12 - 4 - 6R = 0 8 - 6R = 0 6R = 8 R = 86 = 43

Passo 9

Encontramos que, para maximizar o lucro:
  • Gasto com televisão T = 1 (centenas de milhares de reais) Rightarrow 1 times 100.000 = 100.000 reais.
  • Gasto com revistas R = 43 (centenas de milhares de reais) Rightarrow 43 times 100.000 approx 133.333 reais.

Resposta

Para maximizar o lucro, o vendedor deve gastar R$ 100.000,00 em propaganda de televisão e R$ 133.333,33 em propaganda de revistas.

Exercícios relacionados