Encontre todos os números complexos z tais que z^360=1. Qual destes tem o menor argumento?

Passo 1

O enunciado pede todos os complexos z tais que z^360=1 e, entre eles, qual tem o menor argumento; o conteúdo é raízes da unidade e vamos usar a forma polar/Euler para números complexos.

Passo 2

Para resolver z^360=1, escrevemos z na forma polar z= re^itheta. Como |z|^360=1, segue r=1, então z=e^itheta. Em seguida, z^360=e^i360theta=1=e^i2pi k conduz à condição 360theta=2pi k.

Passo 3

Isolando theta temos theta=2pi k360=pi k180, onde k é inteiro. Logo todas as soluções são zk=e^i2pi k360 para k=0,1,2,dots,359.

Passo 4

Os argumentos dessas raízes são thetak=2pi k360. Como k varia a partir de 0, o menor valor de thetak é theta0=0. Portanto a raiz com menor argumento é a que corresponde a k=0.

Resposta

z = 1

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