Sejam a, d in Z. Mostre que se d mid a, então a=0 ou |d| <=|a|.

Passo 1

Estamos diante de uma questão de teoria dos números sobre divisibilidade. Precisamos usar a definição de “d divide a” e propriedades de valor absoluto para mostrar que ou a = 0 ou |d| ≤ |a|.

Passo 2

Se a = 0, então já temos a primeira alternativa: a = 0.
Agora suponha a ≠ 0. Pela definição de divisibilidade, existe um inteiro k tal que
a = d cdot k
Como a ≠ 0, segue que k ≠ 0. Aplicando valor absoluto em ambos os lados, obtemos
|a| = |d| cdot |k|

Passo 3

Sabemos que |k| ≥ 1 pois k é inteiro não nulo. Logo,
|a| = |d| cdot |k| >= |d| cdot 1 = |d|
Isto mostra que |d| ≤ |a| sempre que a ≠ 0.

Resposta

a = 0 ou |d| ≤ |a|

Exercícios relacionados