Sejam
. Mostre que se
, então
ou
.
Passo 1
Estamos diante de uma questão de teoria dos números sobre divisibilidade. Precisamos usar a definição de “d divide a” e propriedades de valor absoluto para mostrar que ou a = 0 ou |d| ≤ |a|.
Passo 2
Se a = 0, então já temos a primeira alternativa: a = 0.
Agora suponha a ≠ 0. Pela definição de divisibilidade, existe um inteiro k tal que
Agora suponha a ≠ 0. Pela definição de divisibilidade, existe um inteiro k tal que
Como a ≠ 0, segue que k ≠ 0. Aplicando valor absoluto em ambos os lados, obtemos
Passo 3
Sabemos que |k| ≥ 1 pois k é inteiro não nulo. Logo,
Isto mostra que |d| ≤ |a| sempre que a ≠ 0.
Resposta
a = 0 ou |d| ≤ |a|