Encontre todos os números reais que satisfazem as seguintes desigualdades:
x^2>3 x+4

Passo 1

O enunciado pede todos os xinR tais que
x^2 > 3x + 4
O conteúdo aqui é inequação quadrática. Para resolver, vamos passar tudo para um único lado, encontrar as raízes da quadrática e estudar o sinal do polinômio resultante.

Passo 2

Trazendo todos os termos para a esquerda, definimos
f(x) = x^2 - 3x - 4
e reescrevemos a desigualdade como
f(x) > 0

Passo 3

Para identificar onde f(x) muda de sinal, achamos as raízes da equação
f(x) = x^2 - 3x - 4 = 0
Fatorando, temos
x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) = 0,
logo as raízes são
x = 4 e x = -1

Passo 4

Como f(x) é uma parábola com coeficiente de x^2 positivo, ela abre para cima. O sinal de f(x) será positivo fora do intervalo formado pelas raízes e negativo dentro. Para confirmar:
  • Em x = 0 (intervalo (-1,4)) temos f(0) = -4 < 0.
  • Em x = -2 (intervalo (-infty,-1)) temos f(-2) = 4 + 6 - 4 = 6 > 0.
  • Em x = 5 (intervalo (4,infty)) temos f(5) = 25 - 15 - 4 = 6 > 0.
Portanto, f(x)>0 quando x < -1 ou x > 4.

Resposta

(-infty, -1);cup;(4, infty)

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