Prove que se
são reais, então
Passo 1
O enunciado quer provar, para dois reais positivos com
, a cadeia de desigualdades
O conteúdo que vamos usar inclui propriedades do radical em números positivos, a desigualdade entre média aritmética e geométrica (no caso, provada via quadrados) e manipulações elementares de desigualdades.
Passo 2
Mostramos primeiro que
. Como
, temos
. Multiplicando essa última desigualdade por
obtemos
Passo 3
Agora provamos que
. Observe que, por ser quadrado de real não nulo,
Expandindo,
Passo 4
Por fim, mostramos que
. Como
, somando
dos dois lados segue
Resposta
Juntando todas as partes, concluímos