Prove que se 0<a<b são reais, então
a<raiza b<a+b2<b

Passo 1

O enunciado quer provar, para dois reais positivos com 0<a<b, a cadeia de desigualdades
a<raiza b<a+b2<b
O conteúdo que vamos usar inclui propriedades do radical em números positivos, a desigualdade entre média aritmética e geométrica (no caso, provada via quadrados) e manipulações elementares de desigualdades.

Passo 2

Mostramos primeiro que a<raiza b. Como 0<a<b, temos raiza<raizb. Multiplicando essa última desigualdade por raiza>0 obtemos
raiza,raiza<raiza,raizb Longrightarrow a<raiza b

Passo 3

Agora provamos que raiza b<dfraca+b2. Observe que, por ser quadrado de real não nulo,
l(raizb-raizar)^2>0
Expandindo,
b - 2raiza b + a>0 Longrightarrow 2raiza b<a+b Longrightarrow raiza b<a+b2

Passo 4

Por fim, mostramos que dfraca+b2<b. Como a<b, somando b dos dois lados segue
a+b< b+b =2b Longrightarrow a+b2<b

Resposta

Juntando todas as partes, concluímos
a<raiza b<a+b2<b

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