Encontre todos os números reais x tais que:
\left|2 x^{2}-3 x+1\right|>1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os reais x tais que
\bigl|2x^{2}-3x+1\bigr|>1.
O conteúdo é inequação com valor absoluto, então vamos usar a definição
|A|>1\;\Longleftrightarrow\; \bigl(A>1\bigr)\;\lor\;\bigl(A< -1\bigr),
dividindo a resolução em dois casos.

Passo 2

Caso 1: suponha que 2x^{2}-3x+1\ge0. Então \bigl|2x^{2}-3x+1\bigr|=2x^{2}-3x+1 e a inequação fica
2x^{2}-3x+1>1
2x^{2}-3x>0
x\,(2x-3)>0.
A solução desse produto é
x<0\quad\text{ou}\quad x>\tfrac{3}{2}.

Passo 3

Caso 2: suponha que 2x^{2}-3x+1<0. Então \bigl|2x^{2}-3x+1\bigr|=-(2x^{2}-3x+1) e a inequação vira
-(2x^{2}-3x+1)>1
-2x^{2}+3x-1>1
-2x^{2}+3x-2>0
2x^{2}-3x+2<0.
O discriminante dessa quadrática é
\Delta =(-3)^{2}-4\cdot2\cdot2=9-16=-7<0,
logo 2x^{2}-3x+2 é sempre positivo e não há solução neste caso.

Passo 4

Combinando os dois casos, a única solução é
x<0\quad\lor\quad x>\tfrac{3}{2}.

Resposta

(-\infty,0)\cup\bigl(\tfrac{3}{2},\infty\bigr).

Exercícios relacionados