Encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.
f(x)=3 x^2+2 x+5, [-1.1]

Passo 1

Estamos com a função f(x)=3 x^{2}+2 x+5 no intervalo [–1,1] e queremos aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM). Esse teorema diz que existe ao menos um c em (–1,1) tal que f’© é igual à taxa média de variação de f no intervalo.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f. Sabemos que a derivada de 3 x^{2} é 6 x e a de 2 x é 2, então:
f'(x)=6x+2

Passo 3

Agora calculamos a variação média de f em [–1,1], que é (f(1)–f(–1))/(1–(–1)). Primeiro f(1)=3·1^{2}+2·1+5=10 e f(–1)=3·(–1)^{2}+2·(–1)+5=6. Logo:
variação média=10-62=2çãé

Passo 4

O TVM garante que existe c tal que f’©=2. Então resolvemos:
6c+2=2
6c=0
c=0

Passo 5

Só resta verificar que c=0 pertence ao intervalo aberto (–1,1), o que é verdade. Portanto esse c satisfaz o TVM.

Resposta

c = 0

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