Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada ponto crítico para verificar se ele corresponde a um máximo relativo ou minimo relativo ou ponto de sela:
f(x, y)=x^{2}+(y-1)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f de duas variáveis:
f(x,y)=x^{2}+(y-1)^{2}.
O que o problema pede:
  • Encontrar todos os pontos críticos de f.
  • Para cada ponto crítico, testar se é máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão explícita de f(x,y).
  • O domínio implícito é todo o plano \mathbb{R}^{2} (não há restrições dadas).

Passo 2

Conceito usado (explicado devagar): um ponto (x_{0},y_{0}) é ponto crítico se as derivadas parciais de primeira ordem existem e o vetor gradiente é o vetor nulo ali, isto é, se
\nabla f(x_{0},y_{0})=\bigl(f_{x}(x_{0},y_{0}),\,f_{y}(x_{0},y_{0})\bigr)=(0,0),
ou se alguma das derivadas parciais não existir (não é o caso aqui).
O que significa cada símbolo:
  • f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x: diferenciar f tratando y como constante.
  • f_{y} é a derivada parcial de f em relação a y: diferenciar f tratando x como constante.
  • \nabla f é o gradiente, que reúne as parciais.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Aplicando a regra de derivada de potência (derivada de t^{2} é 2t):
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+(y-1)^{2}\bigr)=2x,
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+(y-1)^{2}\bigr)=2(y-1).
Expliquei: ao derivar em relação a x a parte (y-1)^{2} é tratada como constante, então sua derivada é 0; analogamente ao derivar em relação a y o termo x^{2} é constante.

Passo 4

Resolver o sistema \nabla f(x,y)=(0,0). Igualando as parciais a zero:
2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0,
2(y-1)=0 \quad\Rightarrow\quad y-1=0 \quad\Rightarrow\quad y=1.
Logo o único ponto que anula o gradiente é (0,1). Verificação de inexistência de outros casos: as derivadas parciais existem para todos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, portanto não há pontos críticos por falta de existência das derivadas.

Passo 5

Agora vamos classificar o ponto crítico usando o teste das derivadas de segunda ordem (também chamado teste do discriminante ou teste do Hessiano). Preciso das segundas derivadas:
Definições e notação:
  • f_{xx} é a derivada parcial segunda de f em relação a x duas vezes.
  • f_{yy} é a derivada parcial segunda em relação a y duas vezes.
  • f_{xy} (ou f_{yx}) é a derivada mista.
O Hessiano é a matriz
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}.
O teste em duas variáveis usa o determinante
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
Interpretação padrão (resumo didático):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 no ponto crítico, então mínimo relativo.
  • Se D>0 e f_{xx}<0, então máximo relativo.
  • Se D<0, ponto de sela.
  • Se D=0, teste inconclusivo.]

Passo 6

Calcular as segundas derivadas para a nossa função.
Já tínhamos f_{x}=2x e f_{y}=2(y-1). Derivando novamente:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(2x)=2,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2(y-1)\bigr)=2,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(2x)=0, \qquad f_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2(y-1)\bigr)=0.
Observe que todas essas segundas derivadas são constantes (não dependem de x,y).

Passo 7

Calcular o discriminante D no ponto crítico (ou de modo geral, já que é constante):
D=f_{xx}\,f_{yy}-(f_{xy})^{2}=2\cdot 2 - 0^{2}=4.
Então D=4>0. Além disso f_{xx}=2>0.
Pelo teste das segundas derivadas: D>0 e f_{xx}>0 implica que (0,1) é um mínimo relativo.

Passo 8

Interpretação final e reforço intuitivo: como f(x,y)=x^{2}+(y-1)^{2} é soma de quadrados, tem sempre valores \ge 0. O menor valor possível é 0, que ocorre quando x^{2}=0 e (y-1)^{2}=0, isto é, em (x,y)=(0,1). Portanto o ponto (0,1) é não só mínimo relativo mas também mínimo global, com valor de função f(0,1)=0. Não existem máximos (a função tende a +\infty quando |x| ou |y| crescem).

Resposta

(0,1)
mínimo relativo (e mínimo global), com f(0,1)=0

Exercícios relacionados