Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada ponto crítico para verificar se ele corresponde a um máximo relativo ou minimo relativo ou ponto de sela:
Passo 1
O enunciado dá a função
de duas variáveis:
O que o problema pede:
- Encontrar todos os pontos críticos de
. - Para cada ponto crítico, testar se é máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Informações relevantes dadas:
- A expressão explícita de
. - O domínio implícito é todo o plano
(não há restrições dadas).
Passo 2
Conceito usado (explicado devagar): um ponto
é ponto crítico se as derivadas parciais de primeira ordem existem e o vetor gradiente é o vetor nulo ali, isto é, se
ou se alguma das derivadas parciais não existir (não é o caso aqui).
O que significa cada símbolo:
O que significa cada símbolo:
-
é a derivada parcial de em relação a : diferenciar tratando como constante. -
é a derivada parcial de em relação a : diferenciar tratando como constante. -
é o gradiente, que reúne as parciais.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Aplicando a regra de derivada de potência (derivada de
é
):
Expliquei: ao derivar em relação a
a parte
é tratada como constante, então sua derivada é
; analogamente ao derivar em relação a
o termo
é constante.
Passo 4
Resolver o sistema
. Igualando as parciais a zero:
Logo o único ponto que anula o gradiente é
. Verificação de inexistência de outros casos: as derivadas parciais existem para todos
, portanto não há pontos críticos por falta de existência das derivadas.
Passo 5
Agora vamos classificar o ponto crítico usando o teste das derivadas de segunda ordem (também chamado teste do discriminante ou teste do Hessiano). Preciso das segundas derivadas:
Definições e notação:
-
é a derivada parcial segunda de em relação a duas vezes. -
é a derivada parcial segunda em relação a duas vezes. -
(ou ) é a derivada mista.
O Hessiano é a matriz
O teste em duas variáveis usa o determinante
Interpretação padrão (resumo didático):
- Se
e no ponto crítico, então mínimo relativo. - Se
e , então máximo relativo. - Se
, ponto de sela. - Se
, teste inconclusivo.]
Passo 6
Calcular as segundas derivadas para a nossa função.
Já tínhamos
e
. Derivando novamente:
Observe que todas essas segundas derivadas são constantes (não dependem de
).
Passo 7
Calcular o discriminante
no ponto crítico (ou de modo geral, já que é constante):
Então
. Além disso
.
Pelo teste das segundas derivadas:
e
implica que
é um mínimo relativo.
Passo 8
Interpretação final e reforço intuitivo: como
é soma de quadrados, tem sempre valores
. O menor valor possível é
, que ocorre quando
e
, isto é, em
. Portanto o ponto
é não só mínimo relativo mas também mínimo global, com valor de função
. Não existem máximos (a função tende a
quando
ou
crescem).
Resposta
mínimo relativo (e mínimo global), com