Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada ponto crítico para verificar se ele corresponde a um máximo relativo ou minimo relativo ou ponto de sela:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar todos os pontos críticos da função e (2) classificar cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. A função dada é
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é explícita em
e e é uma expressão quadrática de uma combinação linear . - Deve-se procurar pontos onde as derivadas parciais se anulam ou não estão definidas (pontos críticos) e depois testar cada ponto crítico para classificação.
Passo 2
O que é um ponto crítico (explicado devagar)?
- Um ponto
é ponto crítico se as derivadas parciais e existem e ambas são iguais a zero em . - Intuição: nessas direções (eixos coordenados) o gráfico não tem inclinação naquele ponto.
Vou calcular as derivadas parciais passo a passo. Para isso, é útil identificar a função interior:
assim
. Para derivar, uso a regra da cadeia: derivada de
em relação a
é
, e em relação a
é
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais:
- Primeiro, as derivadas de
:
- Agora, pelas regras indicadas,
Passo 4
Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema
e
. Assim:
Ambas as equações reduzem à mesma condição
Portanto, TODOS os pontos críticos formam a reta
Ou seja, qualquer par
com
é ponto crítico.
Passo 5
Agora vamos classificar esses pontos. O procedimento padrão (segunda derivada) exige a matriz Hessiana e o determinante discriminante. Explico o que são:
- A Hessiana é a matriz das segundas derivadas:
- As segundas derivadas indicam a curvatura local; o determinante
e o sinal de ajudam a classificar pontos isolados quando .
Calculemos as segundas derivadas:
- Diferenciando
temos
- Diferenciando
temos
Então a Hessiana é
O discriminante fica
Quando
, o teste de segunda derivada é inconclusivo para distinguir mínimo/maximum/ponto de sela — não nos dá resposta direta. Então precisamos de raciocínio adicional.]
Passo 6
Classificação por argumento direto (explicação didática):
- Repare que
é um quadrado, logo para todo vale
porque o quadrado é sempre não-negativo.
- Em pontos onde
temos , o menor valor possível. Portanto, ao redor de qualquer ponto da reta a função nunca assume valores menores que . Logo cada ponto dessa reta é um mínimo relativo. - Além disso, como
é o menor valor global da função, esses mínimos são na verdade mínimos globais. - Por que não são máximos? Porque existem pontos com valores positivos arbitrariamente grandes; então não são máximos.
- Por que não são pontos de sela? Pontos de sela têm variação de sinal (direções em que a função aumenta e direções em que diminui). Aqui, a função não diminui em nenhuma direção (sempre
), então não é sela.
Complemento com interpretação matricial (intuição extra, curta): a Hessiana tem autovalores
e
(traço
, determinante
), isto é, é semidefinida positiva: algumas direções têm curvatura positiva, outra direção tem curvatura zero — explica por que o mínimo não é estrito (há “cadeia” de pontos mínimos ao longo da reta).
Passo 7
Outra forma bem prática (mudança de variáveis) para ver a classificação: defina
e escolha
como segunda coordenada. Então
ou seja, a função depende só de
. O conjunto
(que é exatamente a reta
) dá
, e variar
(mover-se ao longo da reta) não muda o valor — explica por que há uma direção de degrau nulo (autovalor zero) e por que todos esses pontos são mínimos não estritos (mínimos em “valeta plana”).
Passo 8
Resumo final do raciocínio (motivacional): a conta das derivadas encontrou a reta de pontos críticos; o teste direto sobre a expressão
mostra imediatamente que nesses pontos a função atinge seu menor valor possível
. Relaxe: essa é uma situação clássica — mínimo ao longo de uma reta — e é mais simples do que parece quando você vê a raíz quadrada explícita.
Resposta
Cada ponto dessa reta é um mínimo relativo (na verdade mínimo global); não há máximos relativos nem pontos de sela.