Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada ponto crítico para verificar se ele corresponde a um máximo relativo ou minimo relativo ou ponto de sela:
f(x, y)=(x-y+1)^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar todos os pontos críticos da função e (2) classificar cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. A função dada é
f(x,y)=(x-y+1)^{2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é explícita em x e y e é uma expressão quadrática de uma combinação linear x-y+1.
  • Deve-se procurar pontos onde as derivadas parciais se anulam ou não estão definidas (pontos críticos) e depois testar cada ponto crítico para classificação.

Passo 2

O que é um ponto crítico (explicado devagar)?
  • Um ponto (x_0,y_0) é ponto crítico se as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} existem e ambas são iguais a zero em (x_0,y_0).
  • Intuição: nessas direções (eixos coordenados) o gráfico não tem inclinação naquele ponto.
Vou calcular as derivadas parciais passo a passo. Para isso, é útil identificar a função interior:
u(x,y)=x-y+1,
assim f(x,y)=u(x,y)^2. Para derivar, uso a regra da cadeia: derivada de u^2 em relação a x é 2u\cdot u_x, e em relação a y é 2u\cdot u_y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais:
  • Primeiro, as derivadas de u:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x-y+1)=1,\qquad u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x-y+1)=-1.
  • Agora, pelas regras indicadas,
\frac{\partial f}{\partial x}=2u\cdot u_x=2(x-y+1)\cdot 1=2(x-y+1),
\frac{\partial f}{\partial y}=2u\cdot u_y=2(x-y+1)\cdot(-1)=-2(x-y+1).

Passo 4

Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0. Assim:
2(x-y+1)=0,\qquad -2(x-y+1)=0.
Ambas as equações reduzem à mesma condição
x-y+1=0.
Portanto, TODOS os pontos críticos formam a reta
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y+1=0\}.
Ou seja, qualquer par (x,y) com x=y-1 é ponto crítico.

Passo 5

Agora vamos classificar esses pontos. O procedimento padrão (segunda derivada) exige a matriz Hessiana e o determinante discriminante. Explico o que são:
  • A Hessiana é a matriz das segundas derivadas:
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
  • As segundas derivadas indicam a curvatura local; o determinante D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 e o sinal de f_{xx} ajudam a classificar pontos isolados quando D\ne0.
Calculemos as segundas derivadas:
  • Diferenciando \frac{\partial f}{\partial x}=2(x-y+1) temos
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}2(x-y+1)=2,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}2(x-y+1)=2\cdot(-1)=-2.
  • Diferenciando \frac{\partial f}{\partial y}=-2(x-y+1) temos
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(-2(x-y+1))=-2\cdot(-1)=2,
f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(-2(x-y+1))=-2\cdot 1=-2.
Então a Hessiana é
H=\begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]-2 & 2\end{pmatrix}.
O discriminante fica
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=2\cdot2-(-2)^2=4-4=0.
Quando D=0, o teste de segunda derivada é inconclusivo para distinguir mínimo/maximum/ponto de sela — não nos dá resposta direta. Então precisamos de raciocínio adicional.]

Passo 6

Classificação por argumento direto (explicação didática):
  • Repare que f(x,y)=(x-y+1)^2 é um quadrado, logo para todo (x,y) vale
f(x,y)\ge 0,
porque o quadrado é sempre não-negativo.
  • Em pontos onde x-y+1=0 temos f(x,y)=0, o menor valor possível. Portanto, ao redor de qualquer ponto da reta x-y+1=0 a função nunca assume valores menores que 0. Logo cada ponto dessa reta é um mínimo relativo.
  • Além disso, como 0 é o menor valor global da função, esses mínimos são na verdade mínimos globais.
  • Por que não são máximos? Porque existem pontos com valores positivos arbitrariamente grandes; então não são máximos.
  • Por que não são pontos de sela? Pontos de sela têm variação de sinal (direções em que a função aumenta e direções em que diminui). Aqui, a função não diminui em nenhuma direção (sempre \ge0), então não é sela.
Complemento com interpretação matricial (intuição extra, curta): a Hessiana tem autovalores 0 e 4 (traço =4, determinante =0), isto é, é semidefinida positiva: algumas direções têm curvatura positiva, outra direção tem curvatura zero — explica por que o mínimo não é estrito (há “cadeia” de pontos mínimos ao longo da reta).

Passo 7

Outra forma bem prática (mudança de variáveis) para ver a classificação: defina \,u=x-y+1 e escolha v=y como segunda coordenada. Então
f(u,v)=u^{2},
ou seja, a função depende só de u. O conjunto u=0 (que é exatamente a reta x-y+1=0) dá f=0, e variar v (mover-se ao longo da reta) não muda o valor — explica por que há uma direção de degrau nulo (autovalor zero) e por que todos esses pontos são mínimos não estritos (mínimos em “valeta plana”).

Passo 8

Resumo final do raciocínio (motivacional): a conta das derivadas encontrou a reta de pontos críticos; o teste direto sobre a expressão f=(x-y+1)^2 mostra imediatamente que nesses pontos a função atinge seu menor valor possível 0. Relaxe: essa é uma situação clássica — mínimo ao longo de uma reta — e é mais simples do que parece quando você vê a raíz quadrada explícita.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y+1=0\}
Cada ponto dessa reta é um mínimo relativo (na verdade mínimo global); não há máximos relativos nem pontos de sela.

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