Resolva as equações:
(b) y^{2}-1-(2 y+x y) y^{\prime}=0
(c) \left(a y x^{2}+b y\right) y^{\prime}-x=0 para a, b, \in \mathbb{R}, a \neq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver duas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e fornecer as soluções gerais. As equações dadas são:
(b) \;y^{2}-1-(2 y+x y) y^{\prime}=0.
(c) \;\left(a y x^{2}+b y\right) y^{\prime}-x=0 para \;a,b\in\mathbb{R},\;a\neq0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Em (b) a incógnita é a função y(x) e y' representa \dfrac{dy}{dx}.
  • Em (c) há os parâmetros reais \;a e \;b com \;a\neq0; novamente y' é \dfrac{dy}{dx}.
  • Devemos encontrar a solução geral (constante de integração incluída) e observar restrições de domínio quando aparecerem logaritmos ou raízes.

Passo 2

Começamos por (b). Reescrevemos a equação isolando y':
y^{2}-1-(2 y+x y) y^{\prime}=0
Passamos o termo com y' para o outro lado:
(2y + xy)\,y' = y^{2}-1.
Fatorando y no fator da esquerda:
y(2+x)\,y' = y^{2}-1.
Aqui é conveniente reconhecer que podemos separar variáveis porque a equação pode ser escrita como produto envolvendo apenas y e y' igual a uma função de x. Assumimos inicialmente regiões onde y(2+x)\neq0 para poder dividir.

Passo 3

Procedemos à separação de variáveis. Lembrando que y'=\dfrac{dy}{dx}, fazemos:
y\,\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y^{2}-1}{2+x}.
Colocamos todos os termos em y do lado esquerdo e os de x do lado direito:
\dfrac{y}{y^{2}-1}\,dy = \dfrac{dx}{2+x}.
Agora integraremos os dois lados. Vou explicar cada integral antes de executar: para \int \dfrac{y}{y^{2}-1}\,dy é natural fazer a substituição u=y^{2}-1, porque du=2y\,dy. Para \int \dfrac{dx}{2+x} reconhecemos diretamente o logaritmo natural.

Passo 4

Fazendo as integrais:
  • Para a esquerda, usando u=y^{2}-1 e du=2y\,dy:
\int \dfrac{y}{y^{2}-1}\,dy = \tfrac{1}{2}\int \dfrac{du}{u} = \tfrac{1}{2}\ln|u| + C_1 = \tfrac{1}{2}\ln|y^{2}-1| + C_1.
  • Para a direita:
\int \dfrac{dx}{2+x} = \ln|2+x| + C_2.
Igualando (absorvendo constantes em uma só constante C):
\tfrac{1}{2}\ln|y^{2}-1| = \ln|2+x| + C,
onde C=C_2-C_1.

Passo 5

Multiplicamos por 2 e exponenciamos para eliminar logaritmos:
\ln|y^{2}-1| = 2\ln|2+x| + 2C = \ln|(2+x)^{2}| + \ln e^{2C}.
Logo
|y^{2}-1| = K(2+x)^{2},
com K=e^{2C}>0. Podemos permitir K assumir qualquer valor real não nulo renomeando a constante (incluindo sinal), então escrevemos de forma usual:
y^{2}-1 = C (x+2)^{2},
onde C\in\mathbb{R} é a constante de integração (aqui C pode ser positivo, negativo ou zero; o caso C=0 corresponde a y^{2}-1=0). Portanto, a solução implícita é essa. Se desejarmos a forma explícita:
y(x)=\pm\sqrt{1 + C(x+2)^{2}}.
Observações sobre soluções especiais: C=0 y=\pm1, que são soluções constantes válidas (confirme substituindo na equação original: para y\equiv\pm1 tem-se y^2-1=0 e y'=0, então a equação é satisfeita).

Passo 6

Agora resolvemos (c). Reescrevemos a equação isolando y':
\left(a y x^{2}+b y\right) y^{\prime}-x=0
\Rightarrow (a x^{2}+b)\,y\,y' = x.
Novamente usamos y'=\dfrac{dy}{dx} e separamos variáveis:
y\,\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{a x^{2}+b}.
Colocamos y\,dy de um lado e a função de x do outro:
y\,dy = \dfrac{x}{a x^{2}+b}\,dx.

Passo 7

Integramos ambos os lados. À esquerda é direto:
\int y\,dy = \tfrac{1}{2}y^{2} + C_1.
À direita usamos a substituição u = a x^{2}+b, então du = 2a x\,dx, o que dá x\,dx = \dfrac{du}{2a}. Assim
\int \dfrac{x}{a x^{2}+b}\,dx = \int \dfrac{1}{2a}\,\dfrac{du}{u} = \dfrac{1}{2a}\ln|u| + C_2 = \dfrac{1}{2a}\ln|a x^{2}+b| + C_2.

Passo 8

Igualando as integrais e combinando constantes:
\tfrac{1}{2}y^{2} = \tfrac{1}{2a}\ln|a x^{2}+b| + C,
onde C=C_2-C_1. Multiplicando por 2:
y^{2} = \dfrac{1}{a}\ln|a x^{2}+b| + C_1,
com C_1=2C constante arbitrária real. Assim a forma explícita é
y(x)=\pm\sqrt{\dfrac{1}{a}\ln|a x^{2}+b| + C_1}.
Observações sobre domínio: como aparece \ln|a x^{2}+b|, é preciso que a x^{2}+b\neq0 e que o argumento dentro da raiz seja não negativo. Essas condições determinam o domínio das soluções reais, dependendo dos valores de a e b. Não existem soluções constantes não triviais (exceto possivelmente em pontos isolados), pois y'=0 implicaria x=0, não uma igualdade válida para todo x.

Resposta

(b) y^{2}-1 = C(x+2)^{2}, ou equivalentemente y(x)=\pm\sqrt{1 + C(x+2)^{2}}, com C\in\mathbb{R}.\n
(c) y^{2} = \dfrac{1}{a}\ln|a x^{2}+b| + C, ou equivalentemente y(x)=\pm\sqrt{\dfrac{1}{a}\ln|a x^{2}+b| + C}, com C\in\mathbb{R} e restrições de domínio impostas por \ln e pela raiz.

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