Resolva as equações:
(b)
(c)
para
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para resolver duas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e fornecer as soluções gerais. As equações dadas são:
(b)
.
(c)
para
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Em (b) a incógnita é a função
e representa . - Em (c) há os parâmetros reais
e com ; novamente é . - Devemos encontrar a solução geral (constante de integração incluída) e observar restrições de domínio quando aparecerem logaritmos ou raízes.
Passo 2
Começamos por (b). Reescrevemos a equação isolando
:
Passamos o termo com
para o outro lado:
Fatorando
no fator da esquerda:
Aqui é conveniente reconhecer que podemos separar variáveis porque a equação pode ser escrita como produto envolvendo apenas
e
igual a uma função de
. Assumimos inicialmente regiões onde
para poder dividir.
Passo 3
Procedemos à separação de variáveis. Lembrando que
, fazemos:
Colocamos todos os termos em
do lado esquerdo e os de
do lado direito:
Agora integraremos os dois lados. Vou explicar cada integral antes de executar: para
é natural fazer a substituição
, porque
. Para
reconhecemos diretamente o logaritmo natural.
Passo 4
Fazendo as integrais:
- Para a esquerda, usando
e :
- Para a direita:
Igualando (absorvendo constantes em uma só constante
):
onde
.
Passo 5
Multiplicamos por
e exponenciamos para eliminar logaritmos:
Logo
com
. Podemos permitir
assumir qualquer valor real não nulo renomeando a constante (incluindo sinal), então escrevemos de forma usual:
onde
é a constante de integração (aqui
pode ser positivo, negativo ou zero; o caso
corresponde a
). Portanto, a solução implícita é essa. Se desejarmos a forma explícita:
Observações sobre soluções especiais:
dá
, que são soluções constantes válidas (confirme substituindo na equação original: para
tem-se
e
, então a equação é satisfeita).
Passo 6
Agora resolvemos (c). Reescrevemos a equação isolando
:
Novamente usamos
e separamos variáveis:
Colocamos
de um lado e a função de
do outro:
Passo 7
Integramos ambos os lados. À esquerda é direto:
À direita usamos a substituição
, então
, o que dá
. Assim
Passo 8
Igualando as integrais e combinando constantes:
onde
. Multiplicando por
:
com
constante arbitrária real. Assim a forma explícita é
Observações sobre domínio: como aparece
, é preciso que
e que o argumento dentro da raiz seja não negativo. Essas condições determinam o domínio das soluções reais, dependendo dos valores de
e
. Não existem soluções constantes não triviais (exceto possivelmente em pontos isolados), pois
implicaria
, não uma igualdade válida para todo
.
Resposta
(b)
, ou equivalentemente
, com
.\n
(c) , ou equivalentemente
, com
e restrições de domínio impostas por
e pela raiz.
(c)