Mostre que o termo de ordem
de uma progressão aritmética de razão
e primeiro termo
, é dado por
, qualquer que seja
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, numa progressão aritmética de primeiro termo
e razão
, o termo genérico
satisfaz a fórmula desejada. O conteúdo envolve a definição de progressão aritmética e prova por indução.
Passo 2
Definimos progressão aritmética como sequência em que todo termo seguinte é obtido somando a razão
ao termo anterior, isto é,
Aplicando, temos
o que sugere a fórmula
Passo 3
Verificamos a base da indução para
. Substituindo,
o que é verdadeiro.
Passo 4
Suponha que a fórmula valha para algum
, ou seja,
Então, usando a definição da progressão,
Assim, vale para
.
Passo 5
Pelo princípio da indução, concluímos que a fórmula
é válida para todo