Mostre que o termo de ordem n de uma progressão aritmética de razão r e primeiro termo u1, é dado por un=u1+(n-1) r, qualquer que seja n >= 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, numa progressão aritmética de primeiro termo u1 e razão r, o termo genérico un satisfaz a fórmula desejada. O conteúdo envolve a definição de progressão aritmética e prova por indução.

Passo 2

Definimos progressão aritmética como sequência em que todo termo seguinte é obtido somando a razão r ao termo anterior, isto é,
un+1 = un + r
Aplicando, temos
u2 = u1 + r,
u3 = u2 + r = u1 + 2r,
o que sugere a fórmula
un = u1 + (n-1)r

Passo 3

Verificamos a base da indução para n=1. Substituindo,
u1 = u1 + (1-1)r = u1 + 0 = u1,
o que é verdadeiro.

Passo 4

Suponha que a fórmula valha para algum k>=1, ou seja,
uk = u1 + (k-1)r
Então, usando a definição da progressão,
uk+1 = uk + r = l(u1 + (k-1)rr) + r = u1 + kr = u1 + l((k+1)-1r)r
Assim, vale para k+1.

Passo 5

Pelo princípio da indução, concluímos que a fórmula
un = u1 + (n-1)r
é válida para todo n>=1.

Resposta

un = u1 + (n-1)r

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