Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais.
integral3^4 x^3-2 x^2-4x^3+2 x^2 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral integral3^4 x^3-2x^2-4x^3+2x^2,dx usando frações parciais. O conteúdo aqui é integração por frações parciais: precisamos fatorar o denominador, decompor a expressão em termos simples, integrar cada parte e avaliar de 3 a 4.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador e montamos a decomposição em frações simples. Fatorando:
x^3+2x^2=x^2(x+2)
Então escrevemos
x^3-2x^2-4x^2(x+2)=Ax+Bx^2+Cx+2

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x^2(x+2) e igualamos coeficientes.
x^3-2x^2-4=A,x(x+2)+B(x+2)+C x^2=(A+C)x^2+(2A+B)x+2B
Igualando coeficientes:
  • Para x^2: A+C=1
  • Para x: 2A+B=-2
  • Termo constante: 2B=-4
    Daí B=-2, depois 2A-2=-2 A=0 e C=1.

Passo 4

Com os valores A=0, B=-2, C=1, a integral vira
integralx^3-2x^2-4x^2(x+2),dx=integrall(-2x^-2+1x+2r)dx
Integrando termo a termo:
integral(-2x^-2)dx=2/x, integral1x+2dx=ln|x+2|,
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F(x)=2x+ln|x+2|+C

Passo 5

Agora avaliamos de 3 a 4:
l[tfrac2x+ln|x+2|r]3^4=l(tfrac24+ln6r)-l(tfrac23+ln5r)= -tfrac16+ln65

Resposta

ln65-tfrac16

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