Encontre:
Todos os subconjuntos de
que formam um conjunto linearmente independente.
Todos os subconjuntos de
Passo 1
O que o enunciado pede: listar todos os subconjuntos de
que são conjuntos linearmente independentes.
Informações dadas:
- O conjunto
tem três vetores em coordenadas bidimensionais: , e . - Não há outros vetores nem restrições adicionais.
Passo 2
Definição (explicada devagarinho): um conjunto de vetores é linearmente independente se a única forma de escrever a combinação linear deles que resulte no vetor nulo é usando todos os coeficientes iguais a zero.
Mais formalmente: dado um conjunto de vetores
, ele é linearmente independente se, sempre que
então necessariamente
Aqui
são escalares (números reais). Isso quer dizer: a única maneira de combinar os vetores e obter o vetor nulo é a combinação “trivial” onde todos os coeficientes são zero. Se existe alguma combinação com algum coeficiente diferente de zero que dá o vetor nulo, o conjunto é linearmente dependente.
Plano prático para este problema:
- Verificar o caso do conjunto vazio.
- Verificar todos os singletons (conjuntos com 1 vetor).
- Verificar todos os pares (conjuntos com 2 vetores).
- Verificar o conjunto com os 3 vetores.
Vou aplicar a definição diretamente em cada caso, resolvendo as equações coordenada a coordenada (isso é simples em).
Passo 3
Caso do conjunto vazio
.
Regra-convencional: o conjunto vazio é considerado linearmente independente. Intuição: não há coeficientes para escolher; a única combinação linear “vazia” é a combinação trivial que é zero por convenção. Portanto
Passo 4
Singletons: conjuntos com exatamente um vetor.
Fato útil: um singleton
é linearmente independente se, e somente se,
. Porque a condição
implica
quando
.
Aplicando aos vetores dados:
-
, logo é linearmente independente. -
, logo é linearmente independente. -
, logo é linearmente independente.
Passo 5
Pares: verificar cada par de vetores com a definição (resolver a combinação linear que dá zero e ver se só a solução trivial existe).
a) Par
.
Considere
. Escrevendo por coordenadas:
Isto dá imediatamente
e
. Como só a solução trivial existe, o par
é linearmente independente.
b) Par
.
Considere
. Por coordenadas:
Da segunda coordenada vem
. Substituindo na primeira,
dá
. Novamente só a solução trivial, logo
é linearmente independente.
c) Par
.
Considere
. Por coordenadas:
Da primeira coordenada vem
. Substituindo na segunda,
dá
. Só solução trivial, então
é linearmente independente.
Observação rápida (intuição): em
dois vetores são linearmente independentes sempre que não são múltiplos escalares um do outro. Aqui nenhum par é múltiplo do outro, por exemplo
não é múltiplo nem de
nem de
.
Passo 6
Conjunto com os três vetores
.
Para testar dependência, basta encontrar uma combinação linear não trivial que dê zero. Note que
Isto corresponde à combinação com coeficientes
:
onde nem todos os coeficientes são zero. Assim existe uma combinação não trivial que produz o vetor nulo, então o conjunto dos três vetores é linearmente dependente.
Intuição:
é exatamente a soma de
e
, por isso a dependência é imediata.
Passo 7
Conclusão agrupada: juntando os resultados dos passos anteriores, os subconjuntos de
que são linearmente independentes são:
- o conjunto vazio
; - todos os singletons
, , ; - todos os pares
, , .
O conjunto com os três elementosé linearmente dependente e, portanto, não entra na lista.