Encontre:
Todos os subconjuntos de S=\{(1,0),(0,1),(1,1)\} que formam um conjunto linearmente independente.

Passo 1

O que o enunciado pede: listar todos os subconjuntos de S=\{(1,0),(0,1),(1,1)\} que são conjuntos linearmente independentes.
Informações dadas:
  • O conjunto S tem três vetores em coordenadas bidimensionais: (1,0), (0,1) e (1,1).
  • Não há outros vetores nem restrições adicionais.

Passo 2

Definição (explicada devagarinho): um conjunto de vetores é linearmente independente se a única forma de escrever a combinação linear deles que resulte no vetor nulo é usando todos os coeficientes iguais a zero.
Mais formalmente: dado um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_k\}, ele é linearmente independente se, sempre que
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_k v_k = (0,0),
então necessariamente
a_1 = a_2 = \cdots = a_k = 0.
Aqui a_i são escalares (números reais). Isso quer dizer: a única maneira de combinar os vetores e obter o vetor nulo é a combinação “trivial” onde todos os coeficientes são zero. Se existe alguma combinação com algum coeficiente diferente de zero que dá o vetor nulo, o conjunto é linearmente dependente.
Plano prático para este problema:
  • Verificar o caso do conjunto vazio.
  • Verificar todos os singletons (conjuntos com 1 vetor).
  • Verificar todos os pares (conjuntos com 2 vetores).
  • Verificar o conjunto com os 3 vetores.
    Vou aplicar a definição diretamente em cada caso, resolvendo as equações coordenada a coordenada (isso é simples em \mathbb{R}^2).

Passo 3

Caso do conjunto vazio \emptyset.
Regra-convencional: o conjunto vazio é considerado linearmente independente. Intuição: não há coeficientes para escolher; a única combinação linear “vazia” é a combinação trivial que é zero por convenção. Portanto
\emptyset\\ \text{é linearmente independente.}é

Passo 4

Singletons: conjuntos com exatamente um vetor.
Fato útil: um singleton \{v\} é linearmente independente se, e somente se, v\neq(0,0). Porque a condição
a v = (0,0)
implica a=0 quando v\neq(0,0).
Aplicando aos vetores dados:
  • (1,0)\neq(0,0), logo \{(1,0)\} é linearmente independente.
  • (0,1)\neq(0,0), logo \{(0,1)\} é linearmente independente.
  • (1,1)\neq(0,0), logo \{(1,1)\} é linearmente independente.

Passo 5

Pares: verificar cada par de vetores com a definição (resolver a combinação linear que dá zero e ver se só a solução trivial existe).
a) Par \{(1,0),(0,1)\}.
Considere a(1,0)+b(0,1)=(0,0). Escrevendo por coordenadas:
(a, b)=(0,0).
Isto dá imediatamente a=0 e b=0. Como só a solução trivial existe, o par \{(1,0),(0,1)\} é linearmente independente.
b) Par \{(1,0),(1,1)\}.
Considere a(1,0)+b(1,1)=(0,0). Por coordenadas:
(a+b,\; b)=(0,0).
Da segunda coordenada vem b=0. Substituindo na primeira, a+0=0 a=0. Novamente só a solução trivial, logo \{(1,0),(1,1)\} é linearmente independente.
c) Par \{(0,1),(1,1)\}.
Considere a(0,1)+b(1,1)=(0,0). Por coordenadas:
(b,\; a+b)=(0,0).
Da primeira coordenada vem b=0. Substituindo na segunda, a+0=0 a=0. Só solução trivial, então \{(0,1),(1,1)\} é linearmente independente.
Observação rápida (intuição): em \mathbb{R}^2 dois vetores são linearmente independentes sempre que não são múltiplos escalares um do outro. Aqui nenhum par é múltiplo do outro, por exemplo (1,1) não é múltiplo nem de (1,0) nem de (0,1).

Passo 6

Conjunto com os três vetores \{(1,0),(0,1),(1,1)\}.
Para testar dependência, basta encontrar uma combinação linear não trivial que dê zero. Note que
(1,0)+(0,1)-(1,1)=(1+0-1,\;0+1-1)=(0,0).
Isto corresponde à combinação com coeficientes 1,1,-1:
1\cdot(1,0)+1\cdot(0,1)+(-1)\cdot(1,1)=(0,0),
onde nem todos os coeficientes são zero. Assim existe uma combinação não trivial que produz o vetor nulo, então o conjunto dos três vetores é linearmente dependente.
Intuição: (1,1) é exatamente a soma de (1,0) e (0,1), por isso a dependência é imediata.

Passo 7

Conclusão agrupada: juntando os resultados dos passos anteriores, os subconjuntos de S que são linearmente independentes são:
  • o conjunto vazio \emptyset;
  • todos os singletons \{(1,0)\}, \{(0,1)\}, \{(1,1)\};
  • todos os pares \{(1,0),(0,1)\}, \{(1,0),(1,1)\}, \{(0,1),(1,1)\}.
    O conjunto com os três elementos \{(1,0),(0,1),(1,1)\} é linearmente dependente e, portanto, não entra na lista.

Resposta

\emptyset
\{(1,0)\}
\{(0,1)\}
\{(1,1)\}
\{(1,0),(0,1)\}
\{(1,0),(1,1)\}
\{(0,1),(1,1)\}

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