Encontre:
Uma base de
que inclua o vetor
Uma base de
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma base de
que inclua o vetor
.
Informações dadas:
- Um vetor explícito:
.
O que é preciso entregar:
- Um conjunto com dois vetores que (i) contenha
, (ii) seja linearmente independente e (iii) gere todo (ou seja, uma base).
Passo 2
Conceitos essenciais (explicação curta e prática):
- Um conjunto de vetores é uma base de
se tiver exatamente dois vetores que sejam linearmente independentes. Linearmente independente significa que a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes zero). - Outra forma prática: dois vetores em
formam uma base se e só se não forem colineares (um não é múltiplo escalar do outro). Se não são múltiplos, então eles também geram . - Para verificar independência em
podemos resolver um sistema do tipo e checar se só tem solução , ou calcular o determinante da matriz com esses vetores como colunas — se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Passo 3
Escolha de um vetor adicional: devemos escolher um vetor
tal que
não seja múltiplo escalar de
. Uma escolha simples é
— é fácil de trabalhar e claramente não é múltiplo de
porque não existe
com
e ao mesmo tempo
.
Passo 4
Verificação de independência linear entre
e
por cálculo direto: suponha que existam
tais que
Isto dá o sistema de coordenadas
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira obtemos
. Como a única solução é
, os vetores são linearmente independentes.
(Alternativa rápida: a matriz cujas colunas são
e
tem determinante
, logo são independentes.)
Passo 5
Verificação de que os vetores geram
(ou seja, qualquer
pode ser escrito como combinação linear): queremos
tais que
Isso dá o sistema
Da segunda equação
. Substituindo na primeira obtemos
. Assim, para qualquer
escolhemos
e
e representamos
. Logo os vetores geram todo
.
Passo 6
Conclusão: os vetores escolhidos são linearmente independentes e geram
, portanto formam uma base que contém
. (Se preferir outra opção, qualquer vetor
que não seja múltiplo de
funciona — por exemplo
também serve.)