Encontre:
Uma base de \mathbb{R}^{2} que inclua o vetor (2,2)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma base de \mathbb{R}^{2} que inclua o vetor (2,2).
Informações dadas:
  • Um vetor explícito: (2,2).
O que é preciso entregar:
  • Um conjunto com dois vetores que (i) contenha (2,2), (ii) seja linearmente independente e (iii) gere todo \mathbb{R}^{2} (ou seja, uma base).

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação curta e prática):
  • Um conjunto de vetores é uma base de \mathbb{R}^{2} se tiver exatamente dois vetores que sejam linearmente independentes. Linearmente independente significa que a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes zero).
  • Outra forma prática: dois vetores em \mathbb{R}^{2} formam uma base se e só se não forem colineares (um não é múltiplo escalar do outro). Se não são múltiplos, então eles também geram \mathbb{R}^{2}.
  • Para verificar independência em \mathbb{R}^{2} podemos resolver um sistema do tipo a v_1 + b v_2 = (0,0) e checar se só tem solução a=b=0, ou calcular o determinante da matriz com esses vetores como colunas — se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 3

Escolha de um vetor adicional: devemos escolher um vetor w tal que w não seja múltiplo escalar de (2,2). Uma escolha simples é w=(1,0) — é fácil de trabalhar e claramente não é múltiplo de (2,2) porque não existe \lambda com \lambda\cdot 2 = 1 e ao mesmo tempo \lambda\cdot 2 = 0.

Passo 4

Verificação de independência linear entre (2,2) e (1,0) por cálculo direto: suponha que existam a,b\in\mathbb{R} tais que
a(2,2)+b(1,0)=(0,0).
Isto dá o sistema de coordenadas
2a+b=0,
2a=0.
Da segunda equação vem a=0. Substituindo na primeira obtemos b=0. Como a única solução é a=b=0, os vetores são linearmente independentes.
(Alternativa rápida: a matriz cujas colunas são (2,2) e (1,0) tem determinante 2\cdot0-2\cdot1=-2\neq0, logo são independentes.)

Passo 5

Verificação de que os vetores geram \mathbb{R}^{2} (ou seja, qualquer (x,y) pode ser escrito como combinação linear): queremos a,b tais que
a(2,2)+b(1,0)=(x,y).
Isso dá o sistema
2a+b=x,
2a=y.
Da segunda equação a=\dfrac{y}{2}. Substituindo na primeira obtemos b=x-2a=x-y. Assim, para qualquer (x,y) escolhemos a=\dfrac{y}{2} e b=x-y e representamos (x,y). Logo os vetores geram todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 6

Conclusão: os vetores escolhidos são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^{2}, portanto formam uma base que contém (2,2). (Se preferir outra opção, qualquer vetor w que não seja múltiplo de (2,2) funciona — por exemplo (1,-1) também serve.)

Resposta

\{(2,2),(1,0)\}

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