Ache todos os subguipos de \mathbb{Z}_{12}.

Passo 1

O enunciado pede: "Ache todos os subgrupos de \mathbb{Z}_{12}".
Informações dadas e o que vamos usar:
  • O grupo é \mathbb{Z}_{12}, ou seja os inteiros módulo 12 com a operação de adição (elementos 0,1,2,\dots,11 com adição módulo 12).
  • Queremos listar todos os subgrupos (todos os subconjuntos que são subgrupos sob adição módulo 12).

Passo 2

Ideia principal (ferramenta que vamos usar) — propriedades úteis e explicação:
  • \mathbb{Z}_{12} é um grupo cíclico: existe um elemento (por exemplo 1) que gera todo o grupo. Um fato importante é que todo subgrupo de um grupo cíclico também é cíclico. Vou explicar por quê, de maneira simples.
Explicação do fato e fórmula do ordem de um elemento:
  • Tome um elemento a\in\mathbb{Z}_{12}. O subgrupo gerado por a é
\langle a\rangle=\{0,a,2a,3a,\dots\}
com as somas feitas módulo 12.
  • A ordem de a (número de elementos distintos em \langle a\rangle) é
\text{ord}(a)=\frac{12}{\gcd(a,12)}.
Prova curta: escreva g=\gcd(a,12), então a=g a' e 12=g n' com \gcd(a',n')=1. O menor t>0 tal que t a\equiv 0\pmod{12} é exatamente t=n'=\dfrac{12}{g}, porque isso dá t a = n' g a' = 12 a' \equiv 0. Logo \text{ord}(a)=n'=\dfrac{12}{\gcd(a,12)}.
  • Consequência prática: subgrupos de \mathbb{Z}_{12} aparecem como \langle a\rangle para vários a, e o tamanho de \langle a\rangle depende só de \gcd(a,12). Em particular, cada divisor de 12 corresponde a um subgrupo de ordem igual a esse divisor (veremos isso a seguir).

Passo 3

Divisores de 12 e correspondência com subgrupos:
  • Os divisores positivos de 12 são \,1,2,3,4,6,12.
  • Em um grupo \mathbb{Z}_n, para cada divisor m de n existe um único subgrupo de ordem m. No caso prático de \mathbb{Z}_{12}, para cada m divisor de 12 o subgrupo de ordem m pode ser gerado pelo elemento
\frac{12}{m}\in\mathbb{Z}_{12}.
Explicando: se tomamos k=\dfrac{12}{m}, então \gcd(k,12)=\dfrac{12}{m'}? Melhor dito: \text{ord}(k)=\dfrac{12}{\gcd(k,12)}=m. Assim \langle k\rangle tem exatamente m elementos. Por isso cada divisor dá um subgrupo distinto.

Passo 4

Construção explícita de cada subgrupo (vou listar gerador padrão e os seus elementos):
  • Para m=1: \dfrac{12}{1}=12\equiv0 em \mathbb{Z}_{12}. O subgrupo é
\langle 0\rangle=\{0\}.
  • Para m=2: \dfrac{12}{2}=6. O subgrupo é
\langle 6\rangle=\{0,6\}.
  • Para m=3: \dfrac{12}{3}=4. O subgrupo é
\langle 4\rangle=\{0,4,8\}.
  • Para m=4: \dfrac{12}{4}=3. O subgrupo é
\langle 3\rangle=\{0,3,6,9\}.
  • Para m=6: \dfrac{12}{6}=2. O subgrupo é
\langle 2\rangle=\{0,2,4,6,8,10\}.
  • Para m=12: \dfrac{12}{12}=1. O subgrupo é
\langle 1\rangle=\{0,1,2,\dots,11\}=\mathbb{Z}_{12}.
Cada conjunto acima é fechado por adição módulo 12, contém o elemento neutro 0 e é de fato um subgrupo.

Passo 5

Observações úteis para a prova (como reconhecer geradores e a unicidade):
  • Unicidade: não há outros subgrupos além desses porque qualquer \langle a\rangle tem ordem \dfrac{12}{\gcd(a,12)}, então só podem surgir ordens que dividem 12; para cada divisor já demos um subgrupo. Assim a lista está completa.
  • Quem gera cada subgrupo? Dentro de cada subgrupo, alguns elementos são geradores do próprio subgrupo (ou seja, têm ordem igual à ordem do subgrupo). Podemos listar rapidamente os geradores (útil para exercícios):
    • \{0\}: gerador 0.
    • \langle 6\rangle=\{0,6\}: gerador 6.
    • \langle 4\rangle=\{0,4,8\}: geradores 4,8 (pois \gcd(4,12)=4).
    • \langle 3\rangle=\{0,3,6,9\}: geradores 3,9.
    • \langle 2\rangle=\{0,2,4,6,8,10\}: geradores 2,10.
    • \langle 1\rangle=\mathbb{Z}_{12}: geradores 1,5,7,11 (os elementos coprimos com 12).

Resposta

\{0\}
\{0,6\}
\{0,4,8\}
\{0,3,6,9\}
\{0,2,4,6,8,10\}
\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}

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