Ache todos os subguipos de
.
Passo 1
O enunciado pede: "Ache todos os subgrupos de
".
Informações dadas e o que vamos usar:
Informações dadas e o que vamos usar:
- O grupo é
, ou seja os inteiros módulo com a operação de adição (elementos com adição módulo ). - Queremos listar todos os subgrupos (todos os subconjuntos que são subgrupos sob adição módulo
).
Passo 2
Ideia principal (ferramenta que vamos usar) — propriedades úteis e explicação:
-
é um grupo cíclico: existe um elemento (por exemplo ) que gera todo o grupo. Um fato importante é que todo subgrupo de um grupo cíclico também é cíclico. Vou explicar por quê, de maneira simples.
Explicação do fato e fórmula do ordem de um elemento:
- Tome um elemento
. O subgrupo gerado por é
com as somas feitas módulo
.
- A ordem de
(número de elementos distintos em ) é
Prova curta: escreva
, então
e
com
. O menor
tal que
é exatamente
, porque isso dá
. Logo
.
- Consequência prática: subgrupos de
aparecem como para vários , e o tamanho de depende só de . Em particular, cada divisor de corresponde a um subgrupo de ordem igual a esse divisor (veremos isso a seguir).
Passo 3
Divisores de
e correspondência com subgrupos:
- Os divisores positivos de
são . - Em um grupo
, para cada divisor de existe um único subgrupo de ordem . No caso prático de , para cada divisor de o subgrupo de ordem pode ser gerado pelo elemento
Explicando: se tomamos
, então
? Melhor dito:
. Assim
tem exatamente
elementos. Por isso cada divisor dá um subgrupo distinto.
Passo 4
Construção explícita de cada subgrupo (vou listar gerador padrão e os seus elementos):
- Para
: em . O subgrupo é
- Para
: . O subgrupo é
- Para
: . O subgrupo é
- Para
: . O subgrupo é
- Para
: . O subgrupo é
- Para
: . O subgrupo é
Cada conjunto acima é fechado por adição módulo
, contém o elemento neutro
e é de fato um subgrupo.
Passo 5
Observações úteis para a prova (como reconhecer geradores e a unicidade):
- Unicidade: não há outros subgrupos além desses porque qualquer
tem ordem , então só podem surgir ordens que dividem ; para cada divisor já demos um subgrupo. Assim a lista está completa. - Quem gera cada subgrupo? Dentro de cada subgrupo, alguns elementos são geradores do próprio subgrupo (ou seja, têm ordem igual à ordem do subgrupo). Podemos listar rapidamente os geradores (útil para exercícios):
-
: gerador . -
: gerador . -
: geradores (pois ). -
: geradores . -
: geradores . -
: geradores (os elementos coprimos com ).
-