Encontre todos os valores das constantes
e
para os quais a função
- (1 ponto) seja contínua em
.
- (1 ponto) seja diferenciável em
.
Passo 1
O enunciado define uma função por partes que usa
para
e uma reta
para
. Vamos achar condições em
e
para continuidade e diferenciabilidade em
.
Passo 2
Para que
seja contínua em
, precisamos que o limite à esquerda iguale ao valor à direita. Ou seja,
Então a condição de continuidade é
Passo 3
Para que
seja diferenciável em
, as derivadas laterais devem coincidir. Calculamos:
Derivada à esquerda: logo
Derivada à esquerda:
Passo 4
Derivada à direita:
para a reta, logo
Igualando as derivadas para diferenciabilidade:
Passo 5
Substituindo
na condição de continuidade
, obtemos
Resposta
f é contínua em x=π se e somente se b = -mπ.
f é diferenciável em x=π se e somente se m = -1 e b = π.