Encontre todos os valores das constantes m e b para os quais a função
y=f(x)=ll sin (x), & se x= pi
  • (1 ponto) seja contínua em x=pi.
  • (1 ponto) seja diferenciável em x=pi.

Passo 1

O enunciado define uma função por partes que usa sin(x) para x e uma reta mx+b para x>=pi. Vamos achar condições em m e b para continuidade e diferenciabilidade em x=pi.

Passo 2

Para que f seja contínua em x=pi, precisamos que o limite à esquerda iguale ao valor à direita. Ou seja,
limxtopi^-f(x)=sin(pi)=0,
limxtopi^+f(x)=mpi+b
Então a condição de continuidade é
mpi+b=0Longrightarrow b=-mpi

Passo 3

Para que f seja diferenciável em x=pi, as derivadas laterais devem coincidir. Calculamos:
Derivada à esquerda: f'(x)=cos(x) logo
f'-(pi)=cos(pi)=-1

Passo 4

Derivada à direita: f'(x)=m para a reta, logo
f'+(pi)=m
Igualando as derivadas para diferenciabilidade:
m=-1

Passo 5

Substituindo m=-1 na condição de continuidade b=-mpi, obtemos
b=-(-1)pi=pi

Resposta

f é contínua em x=π se e somente se b = -mπ.
f é diferenciável em x=π se e somente se m = -1 e b = π.

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