Quais das equações seguintes podem ser classificadas como lineares?
(e) a b+a c+b c=-2

Passo 1

O enunciado pede para classificar se a equação apresentada é linear. A equação dada é
ab+ac+bc=-2.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • As incógnitas (ou variáveis) envolvidas são a, b e c.
  • Os termos da equação são ab, ac e bc, que aparecem somados e igualados a -2.

Passo 2

Entendendo o que significa “equação linear” (aulasinha básica e essencial).
  • Uma equação é dita linear em várias variáveis quando ela pode ser escrita na forma
\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n + \beta = 0,
onde os coeficientes \alpha_1,\ldots,\alpha_n e o termo constante \beta são números (constantes) e cada incógnita x_i aparece apenas multiplicada por um coeficiente (grau 1) — isto é, não aparecem produtos entre incógnitas nem potências das incógnitas diferentes de 1. Exemplos:
2x+3y-5=0 \quad\text{é linear,}é
xy+x=0 \quad\text{não é linear (porque tem o produto \(xy\)).}ãé

Passo 3

Analisando os termos da equação ab+ac+bc=-2.
  • Cada um dos termos ab, ac e bc é um produto de duas incógnitas (por exemplo, ab é a vezes b).
  • Esse tipo de termo tem grau total 2 (soma dos expoentes das variáveis no monômio), portanto são termos de grau 2.
  • Uma equação que contém termos de grau 2 (ou maior) não é linear segundo a definição acima.

Passo 4

Observação útil (para prova): se eu fixar dois dos símbolos como constantes, a equação pode ficar linear na incógnita restante. Por exemplo, reescrevendo
a(b+c)+bc=-2,
se eu tratar b e c como constantes conhecidos, então a equação é linear em a (coeficiente b+c). Mas isso não torna a equação linear em \emph{todas} as incógnitas simultaneamente. A classificação “linear” usada em provas e em álgebra multivariada exige linearidade em todas as incógnitas consideradas variáveis.

Passo 5

Classificação final do tipo do polinômio.
  • A equação é um polinômio simétrico de grau total 2 nas variáveis a,b,c. Chamamos geralmente esse tipo de equação de quadrática (ou simplesmente não-linear).

Resposta

(e) Não — a equação ab+ac+bc=-2 não é linear.

Exercícios relacionados