Encontre todos os valores de “a” para que exista a inversa, e calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede duas coisas:
- encontrar todos os valores de
para os quais existe a inversa de ; - calcular
(quando existir).
Informações relevantes dadas:
- os elementos de
estão explícitos, depende apenas do parâmetro ; - para uma matriz quadrada
, a inversa existe exatamente quando o determinante é diferente de zero.]
Passo 2
Regra básica (mini-aula): para uma matriz quadrada
a inversa existe se, e só se,
Vou calcular
usando a expansão pela primeira linha (fórmula padrão para
).
Cálculo do determinante:
Agora cada menor:
Substituindo:
Conclusão deste passo:
. Logo a inversa existe exatamente quando
Passo 3
Agora calcular
para
.
Mini-aula curta sobre método escolhido: vou usar a fórmula
onde
é a matriz adjunta (transposta da matriz dos cofatores). Para obter a matriz dos cofatores calculo, para cada posição
, o menor
(determinante da submatriz que sobra ao retirar a linha
e coluna
) e o cofator
.
Vou calcular todos os menores e cofatores um a um (não pule etapas).
Passo 4
Cálculo dos menores
e cofatores
:
-
.
. -
.
. -
.
. -
.
. -
.
. -
.
. -
.
. -
.
. -
.
.
Agora a matriz dos cofatores
é
Passo 5
Construir a adjunta:
. Transpondo:
Lembrando que
, temos
Multiplicando o escalar
por cada entrada e simplificando os sinais:
Passo 6
Cheque rápido (mini-verificação): multiplicando
por
obtém-se a identidade. Exemplo de cálculo de uma entrada verificada:
e similarmente para as demais entradas da verificação; portanto a inversa encontrada está correta para
.