Encontre todos os valores de “a” para que exista a inversa, e calcule A^{-1}.
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & a \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & a \end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • encontrar todos os valores de a para os quais existe a inversa de \mathbf{A};
  • calcular \mathbf{A}^{-1} (quando existir).
Informações relevantes dadas:
  • os elementos de \mathbf{A} estão explícitos, depende apenas do parâmetro a;
  • para uma matriz quadrada 3\times3, a inversa existe exatamente quando o determinante é diferente de zero.]

Passo 2

Regra básica (mini-aula): para uma matriz quadrada \mathbf{A} a inversa existe se, e só se,
\det(\mathbf{A})\neq 0.
Vou calcular \det(\mathbf{A}) usando a expansão pela primeira linha (fórmula padrão para 3\times3).
Cálculo do determinante:
\det(\mathbf{A}) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]2 & a\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & a\end{pmatrix} +0\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\!\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]2 & a\end{pmatrix}=0\cdot a - 0\cdot 2=0,
\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & a\end{pmatrix}=1\cdot a - 0\cdot 1=a.
Substituindo:
\det(\mathbf{A})=1\cdot 0 - 1\cdot a + 0\cdot(\cdots) = -a.
Conclusão deste passo: \det(\mathbf{A})=-a. Logo a inversa existe exatamente quando
-a\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a\neq 0.]

Passo 3

Agora calcular \mathbf{A}^{-1} para a\neq 0.
Mini-aula curta sobre método escolhido: vou usar a fórmula
\mathbf{A}^{-1}=\dfrac{1}{\det(\mathbf{A})}\operatorname{adj}(\mathbf{A}),
onde \operatorname{adj}(\mathbf{A}) é a matriz adjunta (transposta da matriz dos cofatores). Para obter a matriz dos cofatores calculo, para cada posição (i,j), o menor M_{ij} (determinante da submatriz que sobra ao retirar a linha i e coluna j) e o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Vou calcular todos os menores e cofatores um a um (não pule etapas).

Passo 4

Cálculo dos menores M_{ij} e cofatores C_{ij}:
  • M_{11}=\det\!\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]2 & a\end{pmatrix}=0.
    C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+0=0.
  • M_{12}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & a\end{pmatrix}=1\cdot a - 0\cdot1 = a.
    C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-a.
  • M_{13}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot 2 - 0\cdot1 = 2.
    C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+2.
  • M_{21}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & a\end{pmatrix}=1\cdot a - 0\cdot2 = a.
    C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-a.
  • M_{22}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & a\end{pmatrix}=1\cdot a - 0\cdot1 = a.
    C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+a.
  • M_{23}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot 2 - 1\cdot1 = 1.
    C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1.
  • M_{31}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}=1\cdot 0 - 0\cdot 0 = 0.
    C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+0=0.
  • M_{32}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot 0 - 0\cdot1 = 0.
    C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-0=0.
  • M_{33}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot 0 - 1\cdot1 = -1.
    C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=+(-1)=-1.
Agora a matriz dos cofatores C é
C=\begin{pmatrix} 0 & -a & 2\\[4pt] -a & a & -1\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Construir a adjunta: \operatorname{adj}(\mathbf{A})=C^{T}. Transpondo:
\operatorname{adj}(\mathbf{A})= \begin{pmatrix} 0 & -a & 0\\[4pt] - a & a & 0\\[4pt] 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Lembrando que \det(\mathbf{A})=-a, temos
\mathbf{A}^{-1}=\dfrac{1}{\det(\mathbf{A})}\operatorname{adj}(\mathbf{A}) =\dfrac{1}{-a}\begin{pmatrix} 0 & -a & 0\\[4pt] - a & a & 0\\[4pt] 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Multiplicando o escalar \dfrac{1}{-a}=-\dfrac{1}{a} por cada entrada e simplificando os sinais:
\mathbf{A}^{-1}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] -\dfrac{2}{a} & \dfrac{1}{a} & \dfrac{1}{a} \end{pmatrix}, \qquad (a\neq 0).]

Passo 6

Cheque rápido (mini-verificação): multiplicando \mathbf{A} por \mathbf{A}^{-1} obtém-se a identidade. Exemplo de cálculo de uma entrada verificada:
\text{linha 3 de }\mathbf{A}\cdot\text{coluna 1 de }\mathbf{A}^{-1} =1\cdot 0 + 2\cdot 1 + a\cdot\left(-\dfrac{2}{a}\right)=0+2-2=0,
e similarmente para as demais entradas da verificação; portanto a inversa encontrada está correta para a\neq 0.

Resposta

a\neq 0
\mathbf{A}^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] -\dfrac{2}{a} & \dfrac{1}{a} & \dfrac{1}{a} \end{pmatrix}]

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