Dadas as matrizes:
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr} 5 & 0 & 6 \\\\ -8 & 0 & 3 \\\\ -2 & 2 & 7 \\\\ 1 & -1 & -5 \end{array}\right], \quad \mathbf{B}=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & -3 & -2 & 4 \\\\ 7 & 8 & 5 & 9 \\\\ 0 & 6 & 3 & -8 \end{array}\right], \mathbf{C}=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 0 \\\\ 1 & 1 & -8 \\\\ 3 & 5 & 4 \end{array}\right], \mathbf{D}=\left[\begin{array}{rrrr} 5 & 0 & 3 & 2 \\\\ -8 & 1 & -2 & 4 \\\\ -3 & 2 & 1 & -5 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right]
Calcule.
(c) \mathbf{A}\left(\mathbf{B D}^{T}\right)

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes e pede para calcular o produto (c) \mathbf{A}\left(\mathbf{B}\mathbf{D}^{T}\right).
Informações dadas (peguei-as do enunciado):
\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 5 & 0 & 6 \\\\ -8 & 0 & 3 \\\\ -2 & 2 & 7 \\\\ 1 & -1 & -5 \end{bmatrix},\quad \mathbf{B}=\begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 & 4 \\\\ 7 & 8 & 5 & 9 \\\\ 0 & 6 & 3 & -8 \end{bmatrix},
\mathbf{C}=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\\\ 1 & 1 & -8 \\\\ 3 & 5 & 4 \end{bmatrix},\quad \mathbf{D}=\begin{bmatrix} 5 & 0 & 3 & 2 \\\\ -8 & 1 & -2 & 4 \\\\ -3 & 2 & 1 & -5 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}.
O que exatamente é pedido:
  • Calcular \mathbf{A}\left(\mathbf{B}\mathbf{D}^{T}\right).
Observações úteis sobre dimensões (apenas listando dados, sem resolver ainda):
  • \mathbf{A} é \,(4\times 3).
  • \mathbf{B} é \,(3\times 4).
  • \mathbf{D} é \,(4\times 4), então \mathbf{D}^{T} também é \,(4\times 4).
  • O produto \mathbf{B}\mathbf{D}^{T} terá dimensão (3\times 4).
  • Então \mathbf{A}\left(\mathbf{B}\mathbf{D}^{T}\right) é permitido e o resultado terá dimensão (4\times 4).

Passo 2

Explicando o que é transpor e como vamos proceder:
  • A transposta \mathbf{D}^{T} é obtida trocando linhas por colunas: o elemento que estava em posição (i,j) em \mathbf{D} vai para (j,i) em \mathbf{D}^{T}.
  • A multiplicação de matrizes obedece: se \mathbf{X} é (m\times p) e \mathbf{Y} é (p\times n), então \mathbf{X}\mathbf{Y} é (m\times n) e cada entrada (i,j) é
(\mathbf{X}\mathbf{Y})_{ij}=\sum_{k=1}^{p} X_{ik}\,Y_{kj},
ou seja, a soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de \mathbf{X} pelos elementos da j-ésima coluna de \mathbf{Y}. Vou usar isso passo a passo.
Primeiro calculemos \mathbf{D}^{T} aplicando a regra de transposta (peguei os elementos de \mathbf{D} do enunciado):
\mathbf{D}=\begin{bmatrix} 5 & 0 & 3 & 2 \\\\ -8 & 1 & -2 & 4 \\\\ -3 & 2 & 1 & -5 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}.
Trocando linhas por colunas:
\mathbf{D}^{T}=\begin{bmatrix} 5 & -8 & -3 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 3 & -2 & 1 & 0 \\\\ 2 & 4 & -5 & 2 \end{bmatrix}.

Passo 3

Agora vamos calcular \mathbf{B}\mathbf{D}^{T}. Relembrando a fórmula para cada entrada: se chamarmos \mathbf{M}=\mathbf{B}\mathbf{D}^{T}, então
M_{ij}=\sum_{k=1}^{4} B_{ik}\,(\mathbf{D}^{T})_{kj},
pois \mathbf{B} tem 4 colunas.
Vou calcular linha a linha. A primeira linha de \mathbf{B} é [1,-3,-2,4]. As colunas de \mathbf{D}^{T} (pego da matriz acima) são:
\text{col}_1=\begin{bmatrix}5\\\ -8\\\ -3\\\ 0\end{bmatrix},\\ \text{col}_2=\begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 2\\\ 1\end{bmatrix},\\ \text{col}_3=\begin{bmatrix}3\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix},\\ \text{col}_4=\begin{bmatrix}2\\\ 4\\\ -5\\\ 2\end{bmatrix}.
Cálculos da primeira linha de \mathbf{M}:
\begin{aligned} M_{11} &= 1\cdot5 + (-3)\cdot(-8) + (-2)\cdot(-3) + 4\cdot0 = 5 + 24 + 6 + 0 = 35,\\\ M_{12} &= 1\cdot0 + (-3)\cdot1 + (-2)\cdot2 + 4\cdot1 = 0 -3 -4 +4 = -3,\\\ M_{13} &= 1\cdot3 + (-3)\cdot(-2) + (-2)\cdot1 + 4\cdot0 = 3 + 6 -2 +0 = 7,\\\ M_{14} &= 1\cdot2 + (-3)\cdot4 + (-2)\cdot(-5) + 4\cdot2 = 2 -12 +10 +8 = 8. \end{aligned}
Segunda linha de \mathbf{B} é [7,8,5,9]. Cálculos:
\begin{aligned} M_{21} &= 7\cdot5 + 8\cdot(-8) + 5\cdot(-3) + 9\cdot0 = 35 -64 -15 +0 = -44,\\\ M_{22} &= 7\cdot0 + 8\cdot1 + 5\cdot2 + 9\cdot1 = 0 +8 +10 +9 = 27,\\\ M_{23} &= 7\cdot3 + 8\cdot(-2) + 5\cdot1 + 9\cdot0 = 21 -16 +5 +0 = 10,\\\ M_{24} &= 7\cdot2 + 8\cdot4 + 5\cdot(-5) + 9\cdot2 = 14 +32 -25 +18 = 39. \end{aligned}
Terceira linha de \mathbf{B} é [0,6,3,-8]. Cálculos:
\begin{aligned} M_{31} &= 0\cdot5 + 6\cdot(-8) + 3\cdot(-3) + (-8)\cdot0 = 0 -48 -9 +0 = -57,\\\ M_{32} &= 0\cdot0 + 6\cdot1 + 3\cdot2 + (-8)\cdot1 = 0 +6 +6 -8 = 4,\\\ M_{33} &= 0\cdot3 + 6\cdot(-2) + 3\cdot1 + (-8)\cdot0 = 0 -12 +3 +0 = -9,\\\ M_{34} &= 0\cdot2 + 6\cdot4 + 3\cdot(-5) + (-8)\cdot2 = 0 +24 -15 -16 = -7. \end{aligned}
Portanto
\mathbf{B}\mathbf{D}^{T}=\begin{bmatrix} 35 & -3 & 7 & 8 \\\\ -44 & 27 & 10 & 39 \\\\ -57 & 4 & -9 & -7 \end{bmatrix}.

Passo 4

Agora calculamos \mathbf{A}\left(\mathbf{B}\mathbf{D}^{T}\right). Denotando \mathbf{M}=\mathbf{B}\mathbf{D}^{T} (matriz calculada no passo anterior), temos que \mathbf{A} é (4\times3) e \mathbf{M} é (3\times4), logo o produto será uma matriz (4\times4). A regra é a mesma: para \mathbf{N}=\mathbf{A}\mathbf{M},
N_{ij}=\sum_{k=1}^{3} A_{ik}\,M_{kj}.
Vou calcular linha a linha. As colunas de \mathbf{M} (peguei da matriz acima) são:
\text{col}_1=\begin{bmatrix}35\\\ -44\\\ -57\end{bmatrix},\\ \text{col}_2=\begin{bmatrix}-3\\\ 27\\\ 4\end{bmatrix},\\ \text{col}_3=\begin{bmatrix}7\\\ 10\\\ -9\end{bmatrix},\\ \text{col}_4=\begin{bmatrix}8\\\ 39\\\ -7\end{bmatrix}.
Primeira linha de \mathbf{A} é [5,0,6]. Cálculos:
\begin{aligned} N_{11} &= 5\cdot35 + 0\cdot(-44) + 6\cdot(-57) = 175 + 0 -342 = -167,\\\ N_{12} &= 5\cdot(-3) + 0\cdot27 + 6\cdot4 = -15 + 0 +24 = 9,\\\ N_{13} &= 5\cdot7 + 0\cdot10 + 6\cdot(-9) = 35 + 0 -54 = -19,\\\ N_{14} &= 5\cdot8 + 0\cdot39 + 6\cdot(-7) = 40 + 0 -42 = -2. \end{aligned}
Segunda linha de \mathbf{A} é [-8,0,3]. Cálculos:
\begin{aligned} N_{21} &= -8\cdot35 + 0\cdot(-44) + 3\cdot(-57) = -280 + 0 -171 = -451,\\\ N_{22} &= -8\cdot(-3) + 0\cdot27 + 3\cdot4 = 24 +0 +12 = 36,\\\ N_{23} &= -8\cdot7 + 0\cdot10 + 3\cdot(-9) = -56 +0 -27 = -83,\\\ N_{24} &= -8\cdot8 + 0\cdot39 + 3\cdot(-7) = -64 +0 -21 = -85. \end{aligned}
Terceira linha de \mathbf{A} é [-2,2,7]. Cálculos:
\begin{aligned} N_{31} &= -2\cdot35 + 2\cdot(-44) + 7\cdot(-57) = -70 -88 -399 = -557,\\\ N_{32} &= -2\cdot(-3) + 2\cdot27 + 7\cdot4 = 6 +54 +28 = 88,\\\ N_{33} &= -2\cdot7 + 2\cdot10 + 7\cdot(-9) = -14 +20 -63 = -57,\\\ N_{34} &= -2\cdot8 + 2\cdot39 + 7\cdot(-7) = -16 +78 -49 = 13. \end{aligned}
Quarta linha de \mathbf{A} é [1,-1,-5]. Cálculos:
\begin{aligned} N_{41} &= 1\cdot35 + (-1)\cdot(-44) + (-5)\cdot(-57) = 35 +44 +285 = 364,\\\ N_{42} &= 1\cdot(-3) + (-1)\cdot27 + (-5)\cdot4 = -3 -27 -20 = -50,\\\ N_{43} &= 1\cdot7 + (-1)\cdot10 + (-5)\cdot(-9) = 7 -10 +45 = 42,\\\ N_{44} &= 1\cdot8 + (-1)\cdot39 + (-5)\cdot(-7) = 8 -39 +35 = 4. \end{aligned}
Portanto o produto pedido é a matriz \mathbf{N}=\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{D}^{T}) cuja forma explícita aparece abaixo.

Resposta

\mathbf{A}\left(\mathbf{B}\mathbf{D}^{T}\right)=\begin{bmatrix} -167 & 9 & -19 & -2 \\\\ -451 & 36 & -83 & -85 \\\\ -557 & 88 & -57 & 13 \\\\ 364 & -50 & 42 & 4 \end{bmatrix}

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