Nos Exercícios 3-12, calcule o determinante.
\left|\begin{array}{rrr}-2 & 7 & 6 \\\\ 5 & 1 & -2 \\\\ 3 & 8 & 4\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede calcular o determinante da matriz 3\times3 abaixo. As informações dadas são os elementos da matriz:
\left|\begin{array}{rrr} -2 & 7 & 6 \\\\ 5 & 1 & -2 \\\\ 3 & 8 & 4 \end{array}\right|
A pergunta é: qual o valor numérico desse determinante?

Passo 2

Método escolhido: regra de Sarrus (método simples e direto para determinantes 3\times3). Vou explicar como ela funciona antes de aplicar.
Seja uma matriz genérica
\left|\begin{array}{ccc} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{array}\right|.
A regra de Sarrus diz que o determinante vale a soma dos produtos das três diagonais que vão da esquerda superior para a direita inferior, menos a soma dos produtos das três diagonais que vão da esquerda inferior para a direita superior:
\det = (a e i) + (b f g) + (c d h) - \big( (g e c) + (h f a) + (i d b)\big).
Aqui cada termo é um produto de três entradas da matriz. Vou aplicar essa fórmula substituindo a,b,c,\ldots,i pelos valores da matriz do enunciado.

Passo 3

Identificando os elementos da matriz com os símbolos da fórmula:
a=-2,\quad b=7,\quad c=6,
d=5,\quad e=1,\quad f=-2,
g=3,\quad h=8,\quad i=4.
Agora calculo cada um dos seis produtos que aparecem na regra de Sarrus.
Produtos das diagonais “descendo para a direita” (os três primeiros termos da fórmula):
a e i = (-2)\cdot 1 \cdot 4 = (-2)\cdot 4 = -8.
b f g = 7 \cdot (-2) \cdot 3 = 7 \cdot (-6) = -42.
c d h = 6 \cdot 5 \cdot 8 = 6 \cdot 40 = 240.

Passo 4

Soma dos três produtos obtidos (diagonais descendentes):
\text{Soma\_desc} = -8 + (-42) + 240 = -50 + 240 = 190.
Agora os produtos das diagonais “subindo para a direita” (os três termos subtraídos):
g e c = 3 \cdot 1 \cdot 6 = 3 \cdot 6 = 18.
h f a = 8 \cdot (-2) \cdot (-2) = 8 \cdot 4 = 32.
i d b = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 20 \cdot 7 = 140.
Soma desses produtos (diagonais ascendentes):
\text{Soma\_asc} = 18 + 32 + 140 = 50 + 140 = 190.

Passo 5

Aplicando a regra de Sarrus:
\det = \text{Soma\_desc} - \text{Soma\_asc} = 190 - 190 = 0.

Passo 6

Verificação alternativa (intuição e checagem rápida): note que a terceira linha é a soma da primeira com a segunda:
(\,-2,\,7,\,6\,) + (\,5,\,1,\,-2\,) = (\,3,\,8,\,4\,).
Quando uma linha de uma matriz é combinação linear (aqui soma) de outras duas linhas, as linhas são linearmente dependentes e o determinante é zero. Isso confirma o resultado obtido pela regra de Sarrus.

Resposta

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