Questão 47. Sabendo que
e
o ângulo entre
e
, determine:
- A área do triângulo determinado por
e
.
- A área do paralelogramo determinado por
.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas:
- Dados:
-
-
- o ângulo entre
e é
-
- Perguntas:
- Determinar a área do triângulo determinado por
e . - Determinar a área do paralelogramo determinado por
e .
- Determinar a área do triângulo determinado por
Passo 2
Entendendo geometricamente: se você posiciona
e
com as caudas no mesmo ponto, eles formam um paralelogramo cujos lados têm comprimentos
e
, e o ângulo entre esses lados é
. A área do paralelogramo é dada por base vezes altura. Se escolhemos como base o segmento de comprimento
, a altura relativa a essa base é a projeção perpendicular do outro lado, que vale
.
Passo 3
Formalizando a ideia da altura e da área do paralelogramo:
Portanto a área do paralelogramo vale
Observação extra (útil para prova): isso também é igual à magnitude do produto vetorial,
mas aqui a dedução por base×altura já é suficiente e mais direta.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro o seno do ângulo:
Passo 5
Cálculo da área do paralelogramo usando a fórmula:
Fazendo as contas passo a passo:
Logo a área do paralelogramo é
.
Passo 6
A área do triângulo formado por
e
é metade da área do paralelogramo (porque o paralelogramo é composto por dois triângulos congruentes formados pelas mesmas diagonais). Assim: