Questão 47. Sabendo que |\vec{u}|=6,|\vec{v}|=4 e 30^{\circ} o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, determine:
  1. A área do triângulo determinado por \vec{u} e \vec{v}.
  2. A área do paralelogramo determinado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Dados:
    • |\vec{u}| = 6
    • |\vec{v}| = 4
    • o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é 30^\circ
  • Perguntas:
    1. Determinar a área do triângulo determinado por \vec{u} e \vec{v}.
    2. Determinar a área do paralelogramo determinado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Entendendo geometricamente: se você posiciona \vec{u} e \vec{v} com as caudas no mesmo ponto, eles formam um paralelogramo cujos lados têm comprimentos |\vec{u}| e |\vec{v}|, e o ângulo entre esses lados é \theta=30^\circ. A área do paralelogramo é dada por base vezes altura. Se escolhemos como base o segmento de comprimento |\vec{u}|, a altura relativa a essa base é a projeção perpendicular do outro lado, que vale |\vec{v}|\sin\theta.

Passo 3

Formalizando a ideia da altura e da área do paralelogramo:
\text{altura} = |\vec{v}|\sin\theta.
Portanto a área do paralelogramo vale
\text{Área}_{\text{paral.}} = |\vec{u}|\cdot (\text{altura}) = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\sin\theta.Á
Observação extra (útil para prova): isso também é igual à magnitude do produto vetorial,
|\vec{u}\times\vec{v}| = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\sin\theta,
mas aqui a dedução por base×altura já é suficiente e mais direta.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro o seno do ângulo:
\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Cálculo da área do paralelogramo usando a fórmula:
\text{Área}_{\text{paral.}} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\sin\theta = 6\cdot 4\cdot \tfrac{1}{2}.Á
Fazendo as contas passo a passo:
6\cdot 4 = 24, \qquad 24\cdot \tfrac{1}{2} = 12.
Logo a área do paralelogramo é 12.

Passo 6

A área do triângulo formado por \vec{u} e \vec{v} é metade da área do paralelogramo (porque o paralelogramo é composto por dois triângulos congruentes formados pelas mesmas diagonais). Assim:
\text{Área}_{\text{triâng.}} = \tfrac{1}{2}\,\text{Área}_{\text{paral.}} = \tfrac{1}{2}\cdot 12 = 6.ÁâÁ

Resposta

6
12

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