Encontre todos os valores do logaritmo complexo.
(b) \ln (-e i)

Passo 1

O enunciado pede todos os valores de \ln(-e\,i). Vamos usar que, para z\neq0,
\ln z = \ln|z| + i\,\Arg(z)
sendo \Arg(z) multivalorado:
\Arg(z)=\theta+2\pi k, k\in\mathbb{Z}. Precisamos calcular |-e\,i| e \Arg(-e\,i).

Passo 2

Calculemos o módulo:
|-e\,i| = |e|\;|i| = e\cdot1 = e.
Logo, a parte real do logaritmo é
\ln| -e\,i| = \ln e = 1.

Passo 3

Agora o argumento de -e\,i. Note que
- e\,i = e\cdot(-i).
O número -i tem argumento principal -\tfrac{\pi}{2}. Portanto, o argumento geral é
\Arg(-e\,i) = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Reunindo, obtemos
\ln(-e\,i) = \ln| -e\,i| + i\,\Arg(-e\,i) = 1 + i\Bigl(-\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\Bigr) = 1 - \frac{\pi}{2}\,i + 2\pi i k,\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

Todos os valores são
\boxed{\ln(-e\,i)=1 - \frac{\pi}{2}\,i + 2\pi i k,\quad k\in\mathbb{Z}.}

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