Encontre todos os valores de a para os quais a matriz
A=[ccc 3 & 0 & -1 3 & 1 & a+1 2 a+1 & 2 & 1 ]
tem inversa. Se a=17, dê o conjunto solução do sistema linear homogêneo A X=0.

Passo 1

O enunciado pede (1) os valores de a para os quais a matriz
A= 3 & 0 & -1 3 & 1 & a+1 2a+1 & 2 & 1
é inversível, isto é, para os quais det(A)neq0; e (2) no caso a=17, achar o conjunto solução de A X=0. Vamos usar o cálculo de determinante para (1) e, em (2), resolver o sistema homogêneo por substituição.

Passo 2

Calculamos det(A) expandindo pela primeira linha.
Os menores são
M11=det1 & a+12 & 1 =1cdot1-(a+1)cdot2=-2a-1,
M13=det3 &12a+1&2 =3cdot2-1cdot(2a+1)=5-2a
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det(A) =3cdot M11+(-1)cdot M13 =3(-2a-1)-(5-2a) =-6a-3-5+2a =-4a-8 =-4(a+2)

Passo 3

A matriz A é inversível se e somente se det(A)neq0. Como
det(A)=-4(a+2)neq0 Long<=ftrightarrow a+2neq0,
temos que A é inversível para todos
aneq -2

Passo 4

Agora tomamos
e o sistema homogêneo corresponde a
Da primeira equação vem .

Resposta

Os valores de a para os quais A tem inversa são
aneq -2
Se a=17, o sistema A X=0 só admite a solução trivial
X=(0,0,0)

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