Antigamente existiam marcianos de 3 cores diferentes: vermelhos, verdes e azuis. Como Marte foi devastada por uma guerra intergaláctica, sobraram apenas 2 marcianos de cada uma das cores. Para reconstruir a população marciana, eles decidiram usar uma máquina que transforma dois marcianos, de cores distintas, em quatro marcianos com a cor diferente dos dois iniciais. Por exemplo, se um marciano vermelho e um marciano azul usassem a máquina, eles seriam transformados em quatro marcianos verdes.
É possível que, após usar essa máquina um número finito de vezes, tenhamos 2024 marcianos vermelhos, 2024 marcianos verdes e 2024 marcianos azuis?

Passo 1

O enunciado descreve três cores de marcianos — vermelho, verde e azul — com contagens iniciais
(R,G,B)=(2,2,2),
e uma operação que pega dois marcianos de cores distintas (digamos cores i e j), remove um de cada, e gera quatro marcianos da terceira cor k. Nosso objetivo é obter
(R,G,B)=(2024,2024,2024)
após um número finito de operações. O conteúdo principal aqui envolve ver o efeito combinado de sequências de operações e garantir que nunca esgotamos nenhuma cor durante o processo.

Passo 2

Vamos analisar o efeito de uma sequência cíclica de três operações, uma de cada tipo, na ordem:
(r,gto b), (r,bto g), (g,bto r)
Em cada caso, a notação (r,gto b) significa “usamos um vermelho e um verde para gerar quatro azuis”.

Passo 3

Calculemos passo a passo, partindo de (R,G,B)=(a,a,a).
  1. Aplicando (r,gto b):
    (R,G,B);longmapsto;(a-1,;a-1,;a+4)
  2. Em seguida (r,bto g):
    (R,G,B);longmapsto;l((a-1)-1,;(a-1)+4,;(a+4)-1r)=(a-2,;a+3,;a+3)
  3. Finalmente (g,bto r):
    (R,G,B);longmapsto;l((a-2)+4,;(a+3)-1,;(a+3)-1r)=(a+2,;a+2,;a+2)
Ou seja, a cada ciclo completo de três operações aumentamos todas as três contagens em 2:
(a,a,a);longmapsto;(a+2,a+2,a+2)

Passo 4

Queremos ir de (2,2,2) a (2024,2024,2024). Em cada ciclo somamos 2 a cada cor, então precisamos de
2 + 2N = 2024 Longrightarrow 2N = 2022 Longrightarrow N = 1011
ciclos completos.

Passo 5

Verifiquemos que, dentro de cada ciclo, nunca “faltam” marcianos para usar a máquina. No início do n-ésimo ciclo temos (2+2(n-1),2+2(n-1),2+2(n-1)), todas positivas. Cada passo consome apenas marcianos em contagem ainda maior que zero, conforme visto no Passo 3. Portanto todo ciclo é executável sem esgotar nenhuma cor.

Resposta

Sim, é possível. Basta repetir 1011 vezes o ciclo de operações
(r,gto b),(r,bto g),(g,bto r),
obtendo assim exatamente (2024,2024,2024).

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