Antigamente existiam marcianos de 3 cores diferentes: vermelhos, verdes e azuis. Como Marte foi devastada por uma guerra intergaláctica, sobraram apenas 2 marcianos de cada uma das cores. Para reconstruir a população marciana, eles decidiram usar uma máquina que transforma dois marcianos, de cores distintas, em quatro marcianos com a cor diferente dos dois iniciais. Por exemplo, se um marciano vermelho e um marciano azul usassem a máquina, eles seriam transformados em quatro marcianos verdes.
É possível que, após usar essa máquina um número finito de vezes, tenhamos 2024 marcianos vermelhos, 2024 marcianos verdes e 2024 marcianos azuis?
É possível que, após usar essa máquina um número finito de vezes, tenhamos 2024 marcianos vermelhos, 2024 marcianos verdes e 2024 marcianos azuis?
Passo 1
O enunciado descreve três cores de marcianos — vermelho, verde e azul — com contagens iniciais
e uma operação que pega dois marcianos de cores distintas (digamos cores
e
), remove um de cada, e gera quatro marcianos da terceira cor
. Nosso objetivo é obter
após um número finito de operações. O conteúdo principal aqui envolve ver o efeito combinado de sequências de operações e garantir que nunca esgotamos nenhuma cor durante o processo.
Passo 2
Vamos analisar o efeito de uma sequência cíclica de três operações, uma de cada tipo, na ordem:
Em cada caso, a notação
significa “usamos um vermelho e um verde para gerar quatro azuis”.
Passo 3
Calculemos passo a passo, partindo de
.
-
Aplicando
: -
Em seguida
: -
Finalmente
:
Ou seja, a cada ciclo completo de três operações aumentamos todas as três contagens em 2:
Passo 4
Queremos ir de
a
. Em cada ciclo somamos
a cada cor, então precisamos de
ciclos completos.
Passo 5
Verifiquemos que, dentro de cada ciclo, nunca “faltam” marcianos para usar a máquina. No início do
-ésimo ciclo temos
, todas positivas. Cada passo consome apenas marcianos em contagem ainda maior que zero, conforme visto no Passo 3. Portanto todo ciclo é executável sem esgotar nenhuma cor.
Resposta
Sim, é possível. Basta repetir
vezes o ciclo de operações
obtendo assim exatamente
.