Antigamente existiam marcianos de 3 cores diferentes: vermelhos, verdes e azuis. Como Marte foi devastada por uma guerra intergaláctica, sobraram apenas 2 marcianos de cada uma das cores. Para reconstruir a população marciana, eles decidiram usar uma máquina que transforma dois marcianos, de cores distintas, em quatro marcianos com a cor diferente dos dois iniciais. Por exemplo, se um marciano vermelho e um marciano azul usassem a máquina, eles seriam transformados em quatro marcianos verdes.
É possível que, após usar essa máquina um número finito de vezes, tenhamos 2023 marcianos vermelhos, 2024 marcianos verdes e 2025 marcianos azuis?

Passo 1

Resumindo o enunciado: começamos com (R,G,B)=(2,2,2) marcianos de cada cor. A máquina, ao receber dois marcianos de cores distintas X e Y, elimina um de cada e cria quatro do terceiro tipo Z. Cada operação, portanto, transforma
(R,G,B);longrightarrow;(R',G',B')
com uma das três possibilidades de troca, e queremos saber se é possível chegar a (2023,2024,2025) em um número finito de operações. Vamos usar invariantes de contagem total (paridade) e congruências módulo 3 para decidir.

Passo 2

Calcular quantas operações são necessárias para ajustar o total de marcianos. O total inicial é
6 = 2+2+2
e o total desejado é
2023+2024+2025 = 6072
Como cada operação aumenta o total em +2, se usarmos k operações teremos total
6 + 2k = 6072
logo
2k = 6066 Longrightarrow k = 3033,
que é inteiro. Portanto a contagem total não obstrui a possibilidade.

Passo 3

Verificar a paridade do total. O número total de marcianos é sempre par pois partimos de 6 e adicionamos 2 a cada operação. O total final 6072 também é par. Logo não há contradição de paridade.

Passo 4

Usar restrições módulo 3 nas quantidades de cada cor. Note que, em cada operação que converte duas cores distintas i,j em cor k, o vetor de mudança (De<a R,De<a G,De<a B) é, em bmod 3, igual a
(-1,-1,4)equiv(2,2,1)
em ordem apropriada. Chamando de VR, VG e VB os vetores de mudança módulo 3 quando se produz vermelho, verde ou azul, obtemos a matriz de geração
VR=(1,2,2),;VG=(2,1,2),;VB=(2,2,1),
cujo determinante em F3 é
det1&2&22&1&22&2&1=2notequiv0pmod3
Como é invertível, qualquer alvo módulo 3 é alcançável. O estado inicial em bmod3 é (2,2,2) e o alvo é
(2023,2024,2025)equiv(1,2,0)pmod3
Logo existe combinação de kR,kG,kB operações de cada tipo tal que
(2,2,2)+kRVR+kGVG+kBVBequiv(1,2,0)pmod3
juntamente com kR+kG+kB=3033. Resolvendo em bmod3 achamos uma solução consistente.

Passo 5

Como as condições de total (inteiro k=3033), paridade (sempre par) e congruências módulo 3 não apresentam impedimento e o sistema de vetores VR,VG,VB gera todo F3^3, conclui-se que existem escolhas de sequências de operações que conduzem de (2,2,2) a (2023,2024,2025).

Resposta

Sim, é possível.

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