Mostre que \operatorname{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2} e \operatorname{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2 i}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas fórmulas que exprimem a parte real e a parte imaginária de um número complexo em termos do próprio número e do seu conjugado. As informações que vamos usar (definições que o enunciado pressupõe) são:
  • Seja \,z\in\mathbb{C}\, um número complexo. Podemos escrever
z = x + i y,
onde \,x\in\mathbb{R}\, é a parte real e \,y\in\mathbb{R}\, é a parte imaginária de z. Ou seja, por definição \operatorname{Re}(z)=x e \operatorname{Im}(z)=y.
  • O conjugado de z é definido por
\bar{z} = x - i y.
O que precisamos demonstrar são as identidades
\operatorname{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2} \qquad\text{e}\qquad \operatorname{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}.

Passo 2

Vamos manipular \,z+\bar{z}\, usando as expressões z=x+iy e \bar{z}=x-iy. Procede-se somando termo a termo:
z+\bar{z}=(x+iy)+(x-iy).
Agrupando os termos semelhantes (os reais entre si e os imaginários entre si),
z+\bar{z}=x+x + i y - i y = 2x + i y - i y.
Como i y - i y = 0, obtemos
z+\bar{z}=2x.

Passo 3

Dividindo ambos os lados da igualdade anterior por 2, temos
\frac{z+\bar{z}}{2} = x.
Pelo que definimos em

Passo 4

\operatorname{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}.

Passo 5

Agora manipulamos \,z-\bar{z}\,. Usando z=x+iy e \bar{z}=x-iy,
z-\bar{z}=(x+iy)-(x-iy).
Subtraindo termo a termo,
z-\bar{z}=x-x + i y + i y = 0 + 2 i y = 2 i y.

Passo 6

Dividindo a igualdade \,z-\bar{z}=2 i y\, por 2i obtemos
\frac{z-\bar{z}}{2i} = y.
Pelo que definimos em

Passo 7

\operatorname{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}.

Resposta

\displaystyle \operatorname{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}
\displaystyle \operatorname{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}

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