Mostre que
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas fórmulas que exprimem a parte real e a parte imaginária de um número complexo em termos do próprio número e do seu conjugado. As informações que vamos usar (definições que o enunciado pressupõe) são:
- Seja
um número complexo. Podemos escrever
onde
é a parte real e
é a parte imaginária de
. Ou seja, por definição
e
.
- O conjugado de
é definido por
O que precisamos demonstrar são as identidades
Passo 2
Vamos manipular
usando as expressões
e
. Procede-se somando termo a termo:
Agrupando os termos semelhantes (os reais entre si e os imaginários entre si),
Como
, obtemos
Passo 3
Dividindo ambos os lados da igualdade anterior por
, temos
Pelo que definimos em
Passo 4
Passo 5
Agora manipulamos
. Usando
e
,
Subtraindo termo a termo,
Passo 6
Dividindo a igualdade
por
obtemos
Pelo que definimos em