Informações relevantes fornecidas implicitamente: z_{1} e z_{2} são complexos e a barra |\cdot| denota o módulo (norma) complexa.
Passo 2
Vamos lembrar definições e propriedades básicas que usaremos (explicadinhas com calma).
Definição do módulo: para z=x+iy (com x,y\in\mathbb{R}),
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Isto é a distância do ponto (x,y) à origem no plano complexo.
Conjugado e relação com o módulo: o conjugado de z é \overline{z}=x-iy e vale a identidade
|z|^{2}=z\overline{z}.
Explicação: multiplicando z por \overline{z} elimina a parte imaginária e dá x^{2}+y^{2}.
Propriedade do módulo de um produto: para quaisquer complexos u,v,
|u v| = |u|\,|v|.
Explicação rápida: |u v|^{2} = (u v)\overline{(u v)} = u v \overline{u}\,\overline{v} = (u\overline{u})(v\overline{v}) = |u|^{2}|v|^{2}, então tomando raiz positiva vem a igualdade.
Desigualdade entre parte real e módulo: para qualquer complexo w,
\Re(w) \le |w|.
Isto decorre do fato de que |w|=\sqrt{(\Re w)^{2}+(\Im w)^{2}}, então |w|^{2}-(\Re w)^{2}=(\Im w)^{2}\ge 0, daí |w|\ge|\Re w| e, em particular, \Re w\le |w|.
Passo 3
Começamos a prova calculando o quadrado do módulo do lado esquerdo, porque quadrados limpam a raiz e permitem manipular produtos e somas:
Usando a propriedade do módulo de um produto temos \left|z_{1}\overline{z_{2}}\right| = |z_{1}|\,|\overline{z_{2}}| = |z_{1}|\,|z_{2}|, porque |\overline{z_{2}}|=|z_{2}|.
Como ambos os lados são não negativos, podemos tirar raiz quadrada preservando a desigualdade (a função raiz quadrada é monótona crescente em [0,\infty)). Assim
\left|z_{1}+z_{2}\right| \le |z_{1}| + |z_{2}|.
Passo 6
Comentário final (motivação e quando há igualdade): geometricamente, |z| é a distância no plano complexo e a desigualdade expressa que a distância do ponto origem até a soma (vetor resultante) é no máximo a soma das distâncias — é a versão da desigualdade triangular para vetores em \mathbb{R}^{2}. A igualdade ocorre quando z_{1} e z_{2} têm o mesmo argumento (ou um é zero), ou seja, quando apontam exatamente na mesma direção no plano complexo.