Encontre todos os valores de c para os quais a seguinte série converge:
sumn=1^infty(cn-1n+1)

Passo 1

A questão pede para encontrar os valores de c tais que a série sumn=1^inftyl(tfraccn-tfrac1n+1r) converge. Vamos usar testes de convergência de séries e, no caso especial, a forma telescópica.

Passo 2

Para analisar o comportamento assintótico, escrevemos 1/(n+1) em função de 1/n:
1n+1=1n-1n(n+1)
Logo o termo geral fica
cn-1n+1=cn-l(1n-1n(n+1)r)=c-1n+1n(n+1)
Para grandes n, esse termo se comporta como (c-1)/n.

Passo 3

Pelo teste da série p, sum1/n diverge. Se cneq1, o termo geral é equivalente a (c-1)/n e, portanto, a série diverge.

Passo 4

No caso c=1, o termo geral fica 1/n-1/(n+1), e a soma parcial é telescópica:
SN=sumn=1^Nl(1n-1n+1r)=1-1N+1
Quando Ntoinfty, temos SNto1. Logo, para c=1 a série converge.

Passo 5

Concluímos que a série converge se, e somente se, c=1.

Resposta

c=1

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