Use o teste da raiz para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
sumn=0^infty(arctg n)^n

Passo 1

Vamos resumir: a série é sumn=0^infty(arctan n)^n e o conteúdo que vamos usar é o teste da raiz para descobrir se ela converge absolutamente. Para isso, precisamos calcular o n-ésimo raiz do termo geral e analisar seu limite.

Passo 2

O termo geral é an=(arctan n)^n. O teste da raiz pede que a gente avalie
L=limn to infty raiz[n]|an| = limn to infty raiz[n](arctan n)^n
Como arctan n>=0 para n>=0, temos
raiz[n](arctan n)^n = arctan n

Passo 3

Agora calculamos o limite de arctan n quando ntoinfty. Sabemos que limxtoinftyarctan x = pi2. Logo,
L = limntoinfty arctan n = pi2 approx 1,5708

Passo 4

Pelo teste da raiz, se L>1 a série diverge. Aqui L=pi/2>1, então a série não converge nem absolutamente nem condicionalmente: ela diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da raiz, pois o limite da raiz L=pi/2>1.

Exercícios relacionados