Encontre todos os valores de x in R que satisfazem a equação |x+1|+|x-2|=7.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os xinR que satisfazem
|x+1| + |x-2| = 7
O conteúdo envolve manipular valor absoluto de forma piecewise, ou seja, dividindo a reta em intervalos onde as expressões dentro dos módulos têm sinal conhecido.

Passo 2

Identificamos os pontos críticos onde x+1 ou x-2 mudam de sinal, isto é,
x = -1 e x = 2
Então dividimos a reta real em três regiões:
  1. x < -1
  2. -1 <= x < 2
  3. x >= 2

Passo 3

Região x < -1:
Aqui x+1<0 e x-2<0, logo
|x+1| = -(x+1) = -x-1, |x-2| = -(x-2) = -x+2
A equação vira
(-x-1)+(-x+2) = 7 Longrightarrow -2x +1 = 7 Longrightarrow -2x = 6 Longrightarrow x = -3
Verificando, -3 < -1 é verdade, então x=-3 é solução.

Passo 4

Região -1 <= x < 2:
Aqui x+1>=0 e x-2<0, então
|x+1| = x+1, |x-2| = -x+2
A soma é
(x+1)+(-x+2) = 3,
que não pode ser igual a 7. Logo, não há solução neste intervalo.

Passo 5

Região x >= 2:
Agora x+1>=0 e x-2>=0, logo
|x+1| = x+1, |x-2| = x-2
A equação passa a ser
(x+1)+(x-2) = 7 Longrightarrow 2x -1 = 7 Longrightarrow 2x = 8 Longrightarrow x = 4
Verificando, 4 >= 2 é verdade, então x=4 é solução.

Passo 6

Coletando as soluções válidas de cada caso, obtemos
x = -3 ou x = 4

Resposta

As soluções da equação são
x = -3 e x = 4

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