Supondo que as funções diferenciáveis y=y(x) e z=z(x), z>0, sejam definidas implicitamente pelo sistema dado, determinar as derivadas d yd x e d zd x.
a) lx^2+y^2+z^2=4 x+y+z=2

Passo 1

O enunciado define duas funções diferenciáveis
e pede . Para isso, vamos usar diferenciação implícita em cada equação e depois resolver o sistema linear que surge em e .

Passo 2

Diferenciando a primeira equação em relação a x e aplicando a regra da cadeia em y(x) e z(x), temos
2x+2y,y'+2z,z'=0
ou, dividindo por 2,
x + y,y' + z,z' = 0
Na segunda equação, a derivada de x+y+z=2
1 + y' + z' = 0
ou seja
y' + z' = -1

Passo 3

Temos o sistema linear em y' e z':
y' + z' = -1, y,y' + z,z' = -x
Da primeira equação sai
y' = -1 - z'
Substituindo na segunda,
y(-1 - z') + z,z' = -x ;Longrightarrow; -y - y,z' + z,z' = -x ;Longrightarrow; (z - y),z' = y - x ;Longrightarrow; z' = y - x,z - y,
Então
y' = -1 - y - x,z - y, = -(z - y) - (y - x),z - y, = x - z,z - y,

Resposta

dydx = x - z,z - y,, dzdx = y - x,z - y,

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