Mostre que a séries harmônica alternada
converge e estime o valor com erro máximo de 0.2 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série alternada
converge e, em seguida, estimar seu valor numérico com erro máximo de
. Vamos usar o teste de Leibniz para séries alternadas e, depois, a estimativa do resto para esse teste.
Passo 2
No teste de Leibniz, se
é uma sequência positiva, decrescente e que tende a zero, então
converge. Aqui temos
. De fato:
-
para todo . -
, logo é decrescente. -
.
Portanto a série converge.
Passo 3
O estimador do resto
(diferença entre a soma infinita
e a soma parcial
) satisfaz
Queremos
. Assim,
Passo 4
Bastará tomar
. A soma parcial é
Logo obtemos uma aproximação de
com erro
.
Resposta
Aproximação com erro máximo
: