Mostre que a séries harmônica alternada sumn=1 (-1)^n+1n converge e estime o valor com erro máximo de 0.2 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1n
converge e, em seguida, estimar seu valor numérico com erro máximo de 0,2. Vamos usar o teste de Leibniz para séries alternadas e, depois, a estimativa do resto para esse teste.

Passo 2

No teste de Leibniz, se (an) é uma sequência positiva, decrescente e que tende a zero, então
sumn=1^infty(-1)^n+1an
converge. Aqui temos an=tfrac1n. De fato:
  1. an>0 para todo n.
  2. an+1=tfrac1n+1<tfrac1n=an, logo é decrescente.
  3. limntoinftyan=limntoinftytfrac1n=0.
    Portanto a série converge.

Passo 3

O estimador do resto RN = S - SN (diferença entre a soma infinita S e a soma parcial SN) satisfaz
|RN|<= aN+1=1N+1
Queremos 1N+1<=0,2. Assim,
N+1>=5 Longrightarrow N>=4

Passo 4

Bastará tomar N=4. A soma parcial é
S4=sumn=1^4(-1)^n+1n =1-12+13-14 approx0,5833
Logo obtemos uma aproximação de S com erro <=0,2.

Resposta

Aproximação com erro máximo 0,2:
Sapprox S4 =1-tfrac12+tfrac13-tfrac14 approx0,5833

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