Encontre todos os valores de x para que a raiz a seguir represente um número real.
\sqrt{(-x-2)(x-4)}
\sqrt{(-x-2)(x-4)}
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todos os valores de $ x $ que fazem a expressão $ \sqrt{(-x-2)(x-4)} $ ser um número real. Isso está relacionado à matéria de Funções e Inequações, mais especificamente sobre as condições para que uma raiz quadrada seja real. Para resolver isso, vamos precisar garantir que o que está dentro da raiz (chamado de radicando) seja maior ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para a raiz quadrada $ \sqrt{A} $ ser um número real, o valor de $ A $ precisa ser não negativo, ou seja, $ A \geq 0 $. No nosso caso, $ A = (-x - 2)(x - 4) $. Então, precisamos resolver a inequação:
Passo 3
Vamos simplificar a inequação. Observamos que:
Substituindo isso na inequação, temos:
Agora, para facilitar, multiplicamos os dois lados da inequação por -1. Lembrando que ao multiplicar ou dividir uma inequação por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte:
Passo 4
Agora precisamos encontrar os valores de $ x $ que satisfazem $ (x + 2)(x - 4) \leq 0 $. Para isso, identificamos os pontos críticos onde cada fator é zero:
Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos:
- $ x < -2 $
- $ -2 \leq x \leq 4 $
- $ x > 4 $
Vamos analisar o sinal de $ (x + 2)(x - 4) $ em cada intervalo:
-
Para $ x < -2 $:
- $ x + 2 < 0 $
- $ x - 4 < 0 $
- Produto: positivo ($ + \times + = + $)
-
Para $ -2 \leq x \leq 4 $:
- $ x + 2 \geq 0 $
- $ x - 4 \leq 0 $
- Produto: negativo ou zero ($ + \times - = - $ ou $ 0 $)
-
Para $ x > 4 $:
- $ x + 2 > 0 $
- $ x - 4 > 0 $
- Produto: positivo ($ + \times + = + $)
Passo 5
A inequação $ (x + 2)(x - 4) \leq 0 $ será verdadeira onde o produto for negativo ou zero. Observando os sinais:
- No intervalo $ -2 \leq x \leq 4 $, o produto é negativo ou zero.
Portanto, os valores de $ x $ que satisfazem a condição são todos os números entre
e
, incluindo os extremos.
Resposta
Os valores de $ x $ que tornam a expressão real são todos os números entre
e
. Ou seja: