Encontre todos os valores de x para que a raiz a seguir represente um número real.
\sqrt{-x-2 x^{2}}
\sqrt{-x-2 x^{2}}
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os valores de $ x $ para que a expressão $ \sqrt{-x - 2x^{2}} $ seja um número real. O conteúdo envolvido aqui é a condição para que uma raiz quadrada seja real, ou seja, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com inequações do segundo grau.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero:
Passo 3
Vamos reorganizar a inequação para facilitar a resolução:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da inequação por
(e lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade):
Passo 5
Agora, vamos fatorar a expressão quadrática:
Passo 6
Encontramos as raízes da equação associada $ x(2x + 1) = 0 $, que são:
Passo 7
Essas raízes dividem a linha dos números reais em intervalos. Vamos testar cada intervalo para ver onde a inequação $ x(2x + 1) \leq 0 $ é verdadeira:
-
Para $ x < -\frac{1}{2} $, por exemplo, $ x = -1 $:
-
Para $ -\frac{1}{2} \leq x \leq 0 $, por exemplo, $ x = -\frac{1}{4} $:
-
Para $ x > 0 $, por exemplo, $ x = 1 $:
Passo 8
Concluímos que a inequação $ x(2x + 1) \leq 0 $ é satisfeita para valores de $ x $ que estão entre
e
, inclusive esses pontos.
Resposta
Os valores de $ x $ que tornam $ \sqrt{-x - 2x^{2}} $ um número real estão no intervalo: