Encontre todos os valores de x para que a raiz a seguir represente um número real.
\sqrt{-x-2 x^{2}}

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os valores de $ x $ para que a expressão $ \sqrt{-x - 2x^{2}} $ seja um número real. O conteúdo envolvido aqui é a condição para que uma raiz quadrada seja real, ou seja, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com inequações do segundo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero:
-x - 2x^2 >= 0

Passo 3

Vamos reorganizar a inequação para facilitar a resolução:
-2x^2 - x >= 0

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da inequação por -1 (e lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade):
2x^2 + x <= 0

Passo 5

Agora, vamos fatorar a expressão quadrática:
x(2x + 1) <= 0

Passo 6

Encontramos as raízes da equação associada $ x(2x + 1) = 0 $, que são:
x(2x + 1) = 0

Passo 7

Essas raízes dividem a linha dos números reais em intervalos. Vamos testar cada intervalo para ver onde a inequação $ x(2x + 1) \leq 0 $ é verdadeira:
  1. Para $ x < -\frac{1}{2} $, por exemplo, $ x = -1 $:
    x(2x + 1) <= 0 ãçã
  2. Para $ -\frac{1}{2} \leq x \leq 0 $, por exemplo, $ x = -\frac{1}{4} $:
    x < -12 çã
  3. Para $ x > 0 $, por exemplo, $ x = 1 $:
    x = -1 ãçã

Passo 8

Concluímos que a inequação $ x(2x + 1) \leq 0 $ é satisfeita para valores de $ x $ que estão entre x(2x + 1) <= 0 e x , inclusive esses pontos.

Resposta

Os valores de $ x $ que tornam $ \sqrt{-x - 2x^{2}} $ um número real estão no intervalo:
x

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