Encontre todos vetores unitários paralelos ao plano yz que são ortogonais ao vetor ( 3,-1, 2).

Passo 1

O enunciado pede todos os vetores unitários que (i) são paralelos ao plano yz e (ii) são ortogonais ao vetor (3,-1,2). Vamos usar conceito de vetor paralelo ao plano (com componente x=0), produto escalar para ortogonalidade e depois normalizar para comprimento 1.

Passo 2

Como um vetor v é paralelo ao plano yz, sua componente x deve ser zero. Logo podemos escrever
v = (0,a,b)
para algumas escalares a e b.

Passo 3

Para v ser ortogonal a (3,-1,2), seu produto escalar deve ser zero:
(0,a,b)cdot(3,-1,2)=0cdot3 + acdot(-1) + bcdot2 = -a + 2b = 0
Dessa equação segue
a = 2b

Passo 4

Substituindo em v temos
v = (0,2b,b) = b,(0,2,1)
Para que v seja unitário, precisamos |v|=1. Como
|v| = |b|,raiz0^2+2^2+1^2 = |b|,raiz5,
impondo |v|=1 obtemos
|b|,raiz5 = 1 Longrightarrow b = pm 1raiz5

Passo 5

Portanto, os vetores unitários procurados são
v1 = l(0,tfrac2raiz5,tfrac1raiz5r) e v2 = l(0,-tfrac2raiz5,-tfrac1raiz5r)

Resposta

l(0,tfrac2raiz5,tfrac1raiz5r) e l(0,-tfrac2raiz5,-tfrac1raiz5r)

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