O vetor a está contido no plano xy, possui um módulo igual a 18 unidades e aponta em uma direção a 250^circ do sentido positivo de x. Além disso, o vetor b possui um módulo igual a 12 unidades e aponta no sentido positivo da direção z. Qual é o produto vetorial c=a times b e qual é a direção do vetor c? Faça um esboço dos vetores no sistema de coordenadas.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no espaço tridimensional:
– O vetor ,a está contido no plano xy, tem módulo ,|a|=18 e faz ângulo de ,250^circ em relação ao sentido positivo de x.
– O vetor ,b tem módulo ,|b|=12 e aponta na direção positiva de z.
O conteúdo aqui é o produto vetorial e a determinação da direção do resultado. Para resolver, vamos primeiro achar as componentes de cada vetor, depois aplicar a fórmula do produto vetorial e, por fim, calcular a direção de ,c=atimes b.

Passo 2

Expressamos ,a em coordenadas cartesianas usando as projeções no plano xy:
ax = |a|cos(250^circ), ay = |a|sin(250^circ), az = 0
Como cos(250^circ)=-cos(70^circ) e sin(250^circ)=-sin(70^circ), numericamente
ax = 18cos(250^circ)approx -6,16, ay = 18sin(250^circ)approx -16,92, az = 0
Para ,b, é imediato que
bx = 0, by = 0, bz = 12

Passo 3

Usamos a definição do produto vetorial via determinante:
c = a times b = i & j & k ax & ay & az bx & by & bz
Desenvolvendo, obtemos
cx = ay,bz - az,by = aycdot12, cy = -(ax,bz - az,bx) = -axcdot12, cz = ax,by - ay,bx = 0
Substituindo ax e ay,
cx = 12cdot(-16,92)approx -203,0, cy = -12cdot(-6,16)approx 73,9, cz = 0

Passo 4

Observamos que ,c também está no plano xy. Seu módulo é
|c| = raizcx^2 + cy^2 approx raiz(-203,0)^2 + (73,9)^2 = 216,
o que confere com a fórmula ,|c|=|a|,|b|sin 90^circ=18cdot12=216.

Passo 5

Para achar a direção de ,c no plano xy, calculamos o ângulo theta em relação ao eixo x:
tantheta = cycx =73,9-203,0approx -0,364
Como cx<0 e cy>0, ,c está no segundo quadrante. O arco cujo tangente vale -0,364 tem referência de ,20^circ,
assim theta=180^circ-20^circ=160^circ.
Logo, ,c faz ângulo de ,160^circ com o sentido positivo de x.

Passo 6

Esboço dos vetores no sistema de coordenadas x,y,z:
– No plano xy, desenhe primeiro a fazendo ângulo de 250^circ (um pouco além de 180^circ+60^circ), no quadrante III.
– Desenhe b para cima, ao longo de z.
– O produto c ficará no plano xy, apontando em 160^circ (quadrante II).

Resposta

c = a times b approx l(-203,0,;73,9,;0r),
com módulo ,|c|=216 e direção no plano xy de ,160^circ em relação ao eixo x.

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