O vetor a está contido no plano xy, possui um módulo igual a 18 unidades e aponta em uma direção a do sentido positivo de x. Além disso, o vetor possui um módulo igual a 12 unidades e aponta no sentido positivo da direção z. Qual é o produto vetorial e qual é a direção do vetor c? Faça um esboço dos vetores no sistema de coordenadas.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores no espaço tridimensional:
– O vetor está contido no plano , tem módulo e faz ângulo de em relação ao sentido positivo de .
– O vetor tem módulo e aponta na direção positiva de .
O conteúdo aqui é o produto vetorial e a determinação da direção do resultado. Para resolver, vamos primeiro achar as componentes de cada vetor, depois aplicar a fórmula do produto vetorial e, por fim, calcular a direção de .
Passo 2
Expressamos em coordenadas cartesianas usando as projeções no plano :
Como e , numericamente
Para , é imediato que
Passo 3
Usamos a definição do produto vetorial via determinante:
o que confere com a fórmula ,|c|=|a|,|b|sin 90^circ=18cdot12=216.
Passo 5
Para achar a direção de ,c no plano xy, calculamos o ângulo theta em relação ao eixo x:
tantheta = cycx =73,9-203,0approx -0,364
Como cx<0 e cy>0, ,c está no segundo quadrante. O arco cujo tangente vale -0,364 tem referência de ,20^circ,
assim theta=180^circ-20^circ=160^circ.
Logo, ,c faz ângulo de ,160^circ com o sentido positivo de x.
Passo 6
Esboço dos vetores no sistema de coordenadas x,y,z:
– No plano xy, desenhe primeiro a fazendo ângulo de 250^circ (um pouco além de 180^circ+60^circ), no quadrante III.
– Desenhe b para cima, ao longo de z.
– O produto c ficará no plano xy, apontando em 160^circ (quadrante II).
Resposta
c = a times b approx l(-203,0,;73,9,;0r),
com módulo ,|c|=216 e direção no plano xy de ,160^circ em relação ao eixo x.