Encontre todos vetores unitários do plano determinado por u=(3,0,1) e v=(1,-1,1) que são ortogonais ao vetor w=(1,2,0).

Passo 1

O enunciado pede todos os vetores de norma unitária que pertencem ao plano gerado por vec u=(3,0,1) e vec v=(1,-1,1) e que ainda satisfazem
vec xcdotvec w=0,
onde vec w=(1,2,0).
Conteúdo usado: combinação linear para parametrizar o plano, produto escalar para impor ortogonalidade e normalização para obter norma 1.

Passo 2

Qualquer vetor vec x do plano pode ser escrito como combinação linear
vec x = alpha,vec u + beta,vec v,
isto é
vec x = alpha(3,0,1) + beta(1,-1,1) = (3alpha+beta,,-beta,;alpha+beta)

Passo 3

Impondo vec x ortogonal a vec w, temos
vec xcdotvec w = (3alpha+beta)cdot1 + (-beta)cdot2 + (alpha+beta)cdot0 = 3alpha - beta = 0
Daí beta = 3alpha.

Passo 4

Substituindo beta=3alpha em vec x, obtemos
vec x = alpha,(3,0,1) + 3alpha,(1,-1,1) = alpha,(3+3,;0-3,;1+3) = alpha,(6,,-3,;4)

Passo 5

Para ter norma 1, basta escolher alpha tal que |vec x|=1. Calculamos
|vec x|^2 = alpha^2l(6^2 + (-3)^2 + 4^2r) = alpha^2,(36+9+16) = 61,alpha^2
Logo alpha^2 = tfrac161 e alpha = pmtfrac1raiz61.

Resposta

Os vetores unitários procurados são
pm 1raiz61,(6,,-3,;4)

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