Verifique que as retas e s são concorrentes. Deternine .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as retas
r: x=2-t, y=3-5t, z=6-6t e s: x=-3+6h, y=1+7h, z=-1+13h
são concorrentes (ou seja, têm um ponto em comum) e determinar esse ponto. O conteúdo usado é interseção de retas no espaço através de sistemas de equações paramétricas: basta igualar as coordenadas e resolver para os parâmetros t e h.

Passo 2

Para haver interseção, deve existir (t,h) tal que
2 - t = -3 + 6h,
3 - 5t = 1 + 7h,
6 - 6t = -1 + 13h
Isso gera um sistema de três equações lineares em t e h.

Passo 3

Reescrevendo cada igualdade em forma padrão:
2 - t = -3 + 6h;Longrightarrow;t + 6h = 5,
3 - 5t = 1 + 7h;Longrightarrow;5t + 7h = 2,
6 - 6t = -1 + 13h;Longrightarrow;6t +13h = 7

Passo 4

Da primeira equação temos t=5-6h. Substituindo em 5t+7h=2:
5(5-6h)+7h=2 ;Longrightarrow; 25-30h+7h=2 ;Longrightarrow; -23h=-23 ;Longrightarrow; h=1
Logo t=5-6cdot1=-1. Verificando na terceira equação:
6(-1)+13cdot1=-6+13=7,
confirma-se consistência. Portanto existe um único par (t,h)=(-1,1).

Passo 5

Substituindo t=-1 em r (ou h=1 em s) obtemos o ponto
x=2-(-1)=3, y=3-5(-1)=8, z=6-6(-1)=12
Assim as retas se encontram em (3,8,12).

Resposta

rcap s=(3,8,12)

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