Determine a direção de máximo crescimento de
no ponto
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: determinar a direção de máximo crescimento da função
no ponto . - Dados relevantes: a expressão de
e o ponto . - Observação útil para organizar a solução: normalmente “direção de máximo crescimento” refere-se à direção (vetor unitário) em que a derivada direcional de
é máxima no ponto dado.
Passo 2
Conceito-chave (explicado devagar e com jeitinho): o gradiente e derivada direcional.
- Definição do gradiente: o gradiente de
é o vetor formado pelas derivadas parciais de . Em símbolos,
Cada componente mostra como
varia se movemos só na direção do eixo correspondente.
- Derivada direcional: se
é um vetor unitário (ou seja ), a derivada direcional de na direção é
ou seja, o produto escalar entre o gradiente e o vetor de direção. Isso mede a taxa de variação de
quando nos movemos na direção
.
- Conclusão teórica direta: para
unitário, o produto escalar fica no máximo quando é paralelo a . Em outras palavras, a direção de máximo crescimento é a direção do gradiente em si (normalizada se quisermos um vetor unitário).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
passo a passo.
- Para
: derive em relação a , tratando como constante. A derivada de é . A derivada de em relação a é . A derivada de em relação a é . Logo,
- Para
: derive em relação a , tratando como constante. A derivada de é . A derivada de em relação a é . A derivada de é . Então
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
- Substituindo
e nas expressões das derivadas parciais:
- Portanto o gradiente em
é
Passo 5
Encontrar a direção de máximo crescimento (vetor unitário) e o valor máximo da derivada direcional.
-
Como explicado, a direção de máximo crescimento é a direção do vetor
. Para obter o vetor unitário nessa direção, dividimos pelo módulo do gradiente. -
Calcular o módulo:
- Vetor unitário na direção do gradiente:
- Valor máximo da derivada direcional (curiosidade útil para a prova): é igual ao módulo do gradiente,
Passo 6
Interpretação final rápida e motivadora: a função cresce mais depressa se você sair do ponto
na direção que aponta para
. Em provas, basta dizer “na direção do gradiente” e fornecer o vetor unitário acima — isso resolve certinho.
Resposta
Direção unitária de máximo crescimento: