Determine a direção de máximo crescimento de
f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}
no ponto
(1,-1).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: determinar a direção de máximo crescimento da função f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2} no ponto (1,-1).
  • Dados relevantes: a expressão de f(x,y) e o ponto (1,-1).
  • Observação útil para organizar a solução: normalmente “direção de máximo crescimento” refere-se à direção (vetor unitário) em que a derivada direcional de f é máxima no ponto dado.

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagar e com jeitinho): o gradiente e derivada direcional.
  • Definição do gradiente: o gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais de f. Em símbolos,
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\; \dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
Cada componente mostra como f varia se movemos só na direção do eixo correspondente.
  • Derivada direcional: se \mathbf{u} é um vetor unitário (ou seja \|\mathbf{u}\|=1), a derivada direcional de f na direção \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\mathbf{u},
ou seja, o produto escalar entre o gradiente e o vetor de direção. Isso mede a taxa de variação de f quando nos movemos na direção \mathbf{u}.
  • Conclusão teórica direta: para \mathbf{u} unitário, o produto escalar \nabla f\cdot\mathbf{u} fica no máximo quando \mathbf{u} é paralelo a \nabla f. Em outras palavras, a direção de máximo crescimento é a direção do gradiente em si (normalizada se quisermos um vetor unitário).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f passo a passo.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: derive f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2} em relação a x, tratando y como constante. A derivada de x^{2} é 2x. A derivada de -x y em relação a x é -y. A derivada de y^{2} em relação a x é 0. Logo,
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x-y.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: derive em relação a y, tratando x como constante. A derivada de x^{2} é 0. A derivada de -x y em relação a y é -x. A derivada de y^{2} é 2y. Então
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-x+2y.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,-1).
  • Substituindo x=1 e y=-1 nas expressões das derivadas parciais:
\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,-1)=2\cdot1-(-1)=2+1=3,
\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,-1)=-1+2\cdot(-1)=-1-2=-3.
  • Portanto o gradiente em (1,-1) é
\nabla f(1,-1)=(3,\,-3).

Passo 5

Encontrar a direção de máximo crescimento (vetor unitário) e o valor máximo da derivada direcional.
  • Como explicado, a direção de máximo crescimento é a direção do vetor \nabla f(1,-1). Para obter o vetor unitário nessa direção, dividimos pelo módulo do gradiente.
  • Calcular o módulo:
\|\nabla f(1,-1)\|=\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
  • Vetor unitário na direção do gradiente:
\mathbf{u}=\dfrac{\nabla f(1,-1)}{\|\nabla f(1,-1)\|} =\dfrac{(3,-3)}{3\sqrt{2}} =\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\; -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • Valor máximo da derivada direcional (curiosidade útil para a prova): é igual ao módulo do gradiente,
\max_{\|\mathbf{u}\|=1}D_{\mathbf{u}}f(1,-1)=\|\nabla f(1,-1)\|=3\sqrt{2}.

Passo 6

Interpretação final rápida e motivadora: a função cresce mais depressa se você sair do ponto (1,-1) na direção que aponta para (1,-1)+(1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2}). Em provas, basta dizer “na direção do gradiente” e fornecer o vetor unitário acima — isso resolve certinho.

Resposta

\nabla f(1,-1)=(3,-3)
Direção unitária de máximo crescimento: \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)

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