Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Raiz. Se o teste for inconclusivo, diga isso.
sumn=1^infty 1(ln (n+1))^n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty 1(ln(n+1))^n
usando o Teste da Raiz. Vamos identificar an = 1/(ln(n+1))^n e aplicar o critério que envolve a n-ésima raiz de |an|.

Passo 2

O Teste da Raiz diz que, se definirmos
L = limntoinfty raiz[n]|an|,
então
  • se L<1, a série converge absolutamente,
  • se L>1, a série diverge,
  • se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular a n-ésima raiz de |an|:
raiz[n]gl|1(ln(n+1))^ngr| = 1ln(n+1)

Passo 4

Agora avaliamos o limite
L = limntoinfty 1ln(n+1) = 0
Como 0<1, o Teste da Raiz garante que a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo Teste da Raiz).

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