Encontre todos os zeros para as funções polinomiais a seguir:
x^4+2 x^3-2 x^2-6 x-3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes do polinômio
f(x)=x^4+2x^3-2x^2-6x-3
O conteúdo aqui é encontrar zeros de polinômios usando o Teorema das Raízes Racionais (posso testar divisores de -3 sobre divisores de 1) e divisão sintética (ou Regra de Ruffini) para fatorar passo a passo.

Passo 2

Pelos divisores de -3 ( pm 1, pm 3), testamos x=-1:
f(-1)=(-1)^4+2(-1)^3-2(-1)^2-6(-1)-3 =1-2-2+6-3=0
Logo x=-1 é raiz.

Passo 3

Dividindo f(x) por (x+1) via divisão sintética obtemos o polinômio de grau 3:
coeficientes de f: 1,;2,;-2,;-6,;-3 dividido por -1
x^3+x^2-3x-3

Passo 4

Novamente pelo Teorema das Raízes Racionais, testamos em x^3+x^2-3x-3 a raiz x=-1:
(-1)^3+(-1)^2-3(-1)-3=-1+1+3-3=0,
então x=-1 é raiz dupla.

Passo 5

Fazendo a divisão sintética de x^3+x^2-3x-3 por (x+1), obtemos o quociente
x^2-3

Passo 6

Resolvendo
x^2-3=0
vem
x=pmraiz3

Resposta

As raízes de x^4+2x^3-2x^2-6x-3 são
x=-1(mu<iplicidade 2), x=raiz3, x=-raiz3

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