Quantas funções de
para
existem? Quantas delas são injetivas? Quantas delas são sobrejetivas?
Passo 1
O enunciado pede para contar funções de
em
, distinguindo quantas são injetivas e quantas são sobrejetivas. O conteúdo é contagem de funções em combinatória básica.
Passo 2
Para contar todas as funções, note que cada um dos
elementos de
pode ser enviado a qualquer um dos
elementos de
. Como as escolhas são independentes, o número total de funções é
Passo 3
Para que uma função seja injetiva, as imagens de
e de
devem ser distintas. Podemos escolher a imagem de
de
maneiras e, para
, uma das
restantes. Logo, o número de funções injetivas é
Passo 4
Para ser sobrejetiva, a imagem da função deve cobrir todo o conjunto
. Como o domínio tem apenas
elementos, não é possível atingir os
alvos distintos. Portanto, não existem funções sobrejetivas.
Resposta
Número total de funções:
Número de funções injetivas:
Número de funções sobrejetivas:
Número de funções injetivas:
Número de funções sobrejetivas: