Quantas funções de star, bul<=t para 1,2,3 existem? Quantas delas são injetivas? Quantas delas são sobrejetivas?

Passo 1

O enunciado pede para contar funções de star,bul<=t em 1,2,3, distinguindo quantas são injetivas e quantas são sobrejetivas. O conteúdo é contagem de funções em combinatória básica.

Passo 2

Para contar todas as funções, note que cada um dos 2 elementos de star,bul<=t pode ser enviado a qualquer um dos 3 elementos de 1,2,3. Como as escolhas são independentes, o número total de funções é
3^2=9

Passo 3

Para que uma função seja injetiva, as imagens de star e de bul<=t devem ser distintas. Podemos escolher a imagem de star de 3 maneiras e, para bul<=t, uma das 2 restantes. Logo, o número de funções injetivas é
3times2=6

Passo 4

Para ser sobrejetiva, a imagem da função deve cobrir todo o conjunto 1,2,3. Como o domínio tem apenas 2 elementos, não é possível atingir os 3 alvos distintos. Portanto, não existem funções sobrejetivas.

Resposta

Número total de funções: 9
Número de funções injetivas: 6
Número de funções sobrejetivas: 0

Exercícios relacionados